Mục lục bài họcĐang ở d02-b2
Quadratic functions, the discriminant and restricted ranges
Three forms of a quadratic
Every quadratic can be written in three ways, and each one hands you a different fact for free:
$$y=ax^{2}+bx+c\qquad y=a(x-h)^{2}+k\qquad y=a(x-p)(x-q)$$The general form gives the $y$-intercept $c$; the completed square form gives the vertex $(h,k)$; the factorised form gives the $x$-intercepts $p$ and $q$. The axis of symmetry is $x=h=-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{p+q}{2}$.
The discriminant
$$\Delta=b^{2}-4ac$$- $\Delta>0$: two distinct real roots;
- $\Delta=0$: one repeated root, and the line $y=0$ is tangent to the parabola;
- $\Delta<0$: no real roots.
If $a>0$ and $\Delta<0$ then $ax^{2}+bx+c>0$ for every real $x$. Every statement above assumes $a\neq 0$; if $a$ contains an unknown, that assumption is a condition you must state.
Sum and product of roots
$$\alpha+\beta=-\frac{b}{a},\qquad \alpha\beta=\frac{c}{a}$$These give expressions such as $\alpha^{2}+\beta^{2}=(\alpha+\beta)^{2}-2\alpha\beta$ without ever solving the equation.
Ba dạng viết, ba món quà khác nhau. Dạng tổng quát $y=ax^{2}+bx+c$ cho ngay giao điểm với trục tung là $c$; dạng chính tắc $y=a(x-h)^{2}+k$ cho ngay đỉnh $(h,k)$; dạng nhân tử $y=a(x-p)(x-q)$ cho ngay hai nghiệm. Trục đối xứng là $x=h=-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{p+q}{2}$ — ba cách viết cùng một số.
Hoàn thành bình phương. Rút $a$ ra khỏi hai số hạng đầu trước, và nhớ rằng phần bù trừ nằm bên trong ngoặc nên khi đưa ra ngoài phải nhân với $a$:
$$2x^{2}-12x+23=2\left(x^{2}-6x\right)+23=2\left[(x-3)^{2}-9\right]+23=2(x-3)^{2}+5$$Bỏ quên phép nhân $-9$ với $2$ cho ra $14$ thay vì $5$ — đây là lỗi số một của cả mảng.
Biệt thức $\Delta=b^{2}-4ac$. $\Delta>0$ hai nghiệm phân biệt; $\Delta=0$ nghiệm kép; $\Delta<0$ vô nghiệm thực. Nếu $a>0$ và $\Delta<0$ thì tam thức luôn dương. Mọi phát biểu ở trên đều ngầm giả sử $a\neq 0$; khi hệ số bậc hai chứa tham số thì $a\neq 0$ là một điều kiện phải viết ra, không phải chuyện hiển nhiên.
Tổng và tích nghiệm. $\alpha+\beta=-\dfrac{b}{a}$ và $\alpha\beta=\dfrac{c}{a}$. Nhờ đó $\alpha^{2}+\beta^{2}=(\alpha+\beta)^{2}-2\alpha\beta$ tính được mà không cần giải phương trình — Paper 1 rất chuộng dạng này vì nó chặn đúng đường bấm máy.
Trên miền bị chặn thì phải xét ba chỗ. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một tam thức trên đoạn $[m,n]$ nằm tại đỉnh hoặc tại một trong hai đầu mút — và đỉnh chỉ được tính khi nó thực sự nằm trong đoạn.
Phương trình $kx^{2}+(k+2)x+3=0$ có hai nghiệm thực phân biệt. Tìm tập giá trị của $k$.
Điều kiện thứ nhất, hay bị bỏ: đây phải là phương trình bậc hai. Nếu $k=0$ thì phương trình thành $2x+3=0$, chỉ có một nghiệm. Vậy $k\neq 0$.
Điều kiện thứ hai: biệt thức dương.
$$\Delta=(k+2)^{2}-4(k)(3)=k^{2}+4k+4-12k=k^{2}-8k+4>0$$Nghiệm của $k^{2}-8k+4=0$ là
$$k=\frac{8\pm\sqrt{64-16}}{2}=\frac{8\pm 4\sqrt{3}}{2}=4\pm 2\sqrt{3}$$Vì hệ số của $k^{2}$ dương nên $k^{2}-8k+4>0$ ở ngoài hai nghiệm:
$$k<4-2\sqrt{3}\approx 0.536\quad\text{hoặc}\quad k>4+2\sqrt{3}\approx 7.464$$Ghép hai điều kiện. Vì $k=0$ nằm trong khoảng $k<0.536$ nên phải loại riêng: tập cần tìm là $k<4-2\sqrt{3}$ với $k\neq 0$, hoặc $k>4+2\sqrt{3}$.
Chỗ nguy hiểm: tại $k=0$ thì $\Delta=(0+2)^{2}-0=4>0$, tức phép thử biệt thức không bắt được trường hợp này. Biệt thức chỉ có nghĩa sau khi đã biết đó là phương trình bậc hai.
Cho $f(x)=2x^{2}-12x+23$ với $0\le x\le 4$. Viết $f$ ở dạng chính tắc, rồi nêu miền giá trị của $f$ trên đoạn đã cho.
Hoàn thành bình phương.
$$f(x)=2\left(x^{2}-6x\right)+23=2\left[(x-3)^{2}-9\right]+23=2(x-3)^{2}+5$$Đỉnh là $(3,5)$; vì $a=2>0$ nên đây là điểm thấp nhất của cả parabol.
Đỉnh có nằm trong đoạn không? $3\in[0,4]$ nên có — giá trị nhỏ nhất trên đoạn đúng bằng $5$.
Giá trị lớn nhất nằm ở đầu mút xa đỉnh nhất. Tính cả hai đầu:
$$f(0)=2(9)+5=23,\qquad f(4)=2(1)+5=7$$Vậy miền giá trị là $5\le f(x)\le 23$.
Hai cách trả lời sai rất hay gặp và cả hai đều “có vẻ đúng”: lấy $[5,7]$ vì chỉ nhìn đỉnh và đầu mút gần nhất, và lấy $[7,23]$ vì chỉ thay hai đầu mút mà quên đỉnh. Đầu mút $x=0$ ở xa đỉnh gấp ba lần đầu mút $x=4$, và vì parabol tăng theo bình phương khoảng cách nên nó cao hơn hẳn.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Functions gồm 14 câu trắc nghiệm và 6 đề tự luận, ra khó hơn đề thật 30–50%. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.