Mục lục bài họcĐang ở d02-b3
Transformations of graphs and rational functions
Transformations of graphs
Starting from $y=f(x)$:
- $y=f(x-a)$ — translation $a$ units in the positive $x$ direction;
- $y=f(x)+b$ — translation $b$ units in the positive $y$ direction;
- $y=pf(x)$ — vertical stretch, scale factor $p$;
- $y=f(qx)$ — horizontal stretch, scale factor $\dfrac{1}{q}$;
- $y=-f(x)$ — reflection in the $x$-axis; $y=f(-x)$ — reflection in the $y$-axis.
Changes outside $f$ act on $y$ and behave as you expect. Changes inside $f$ act on $x$ and behave in the opposite way: $f(x-3)$ moves the graph to the right, and $f(2x)$ makes it narrower.
Order matters
To read $y=f(qx+r)$, factorise first: $f\left(q\left(x+\dfrac{r}{q}\right)\right)$. The horizontal stretch of factor $\dfrac{1}{q}$ and the translation of $-\dfrac{r}{q}$ are then unambiguous.
The rational function
$$f(x)=\frac{ax+b}{cx+d},\qquad c\neq 0$$has a vertical asymptote where the denominator vanishes, $x=-\dfrac{d}{c}$, and a horizontal asymptote $y=\dfrac{a}{c}$. Its range is $y\neq\dfrac{a}{c}$. Writing it as $f(x)=\dfrac{a}{c}+\dfrac{k}{cx+d}$ shows it as a transformation of $y=\dfrac{1}{x}$.
Ngoài thì thuận, trong thì ngược. Thay đổi đứng ngoài $f$ tác động lên $y$ và hành xử đúng như trực giác: $f(x)+b$ dời lên $b$, $pf(x)$ kéo dãn dọc hệ số $p$. Thay đổi đứng trong $f$ tác động lên $x$ và luôn làm ngược lại: $f(x-3)$ dời sang phải $3$ đơn vị, còn $f(2x)$ làm đồ thị hẹp lại chứ không rộng ra — hệ số co giãn ngang là $\dfrac{1}{2}$.
Thứ tự. Muốn đọc $y=f(qx+r)$ thì phải đặt nhân tử chung trước: $f\left(q\left(x+\dfrac{r}{q}\right)\right)$. Khi đó phép co giãn ngang hệ số $\dfrac{1}{q}$ và phép tịnh tiến $-\dfrac{r}{q}$ mới rõ ràng. Đọc thẳng “dời $r$ rồi co $q$” cho ra kết quả khác — và khác một cách trông rất hợp lý.
Giá trị tuyệt đối. $y=|f(x)|$ lật phần dưới trục hoành lên trên; $y=f(|x|)$ vứt phần bên trái trục tung đi rồi lấy gương phần bên phải. Hai phép này khác hẳn nhau và đề IB hỏi cả hai.
Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất. $f(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ có tiệm cận đứng tại nghiệm của mẫu, $x=-\dfrac{d}{c}$, và tiệm cận ngang $y=\dfrac{a}{c}$ — tỉ số hệ số bậc cao nhất, không phải giá trị tại $x=0$. Miền giá trị là $y\neq\dfrac{a}{c}$. Viết lại thành $f(x)=\dfrac{a}{c}+\dfrac{k}{cx+d}$ thì thấy ngay nó là $y=\dfrac{1}{x}$ đã bị dời và kéo dãn, và cách viết ấy cũng là cách nhanh nhất để tìm hàm ngược.
Đồ thị của $y=f(x)$ có điểm cực đại tại $(1,4)$. Tìm toạ độ điểm cực đại tương ứng trên đồ thị của $y=2f(2x+6)-1$.
Tách hai phần: bên trong và bên ngoài.
Bên trong. Điểm cực đại xuất hiện khi biểu thức trong ngoặc bằng $1$, vì đó là chỗ $f$ đạt cực đại:
$$2x+6=1\;\Longrightarrow\;x=-\frac{5}{2}=-2.5$$Bên ngoài. Giá trị $f=4$ được nhân $2$ rồi trừ $1$:
$$y=2(4)-1=7$$Vậy điểm cực đại mới là $(-2.5,\,7)$.
Vì sao không nên mô tả bằng lời rồi mới tính. Nếu diễn giải $f(2x+6)$ thành “dời sang trái $6$ rồi co ngang một nửa” thì $x=1$ đi thành $\dfrac{1-6}{1}$ rồi $\div 2$… và mỗi người sẽ ra một số khác nhau. Đặt nhân tử chung $f\left(2(x+3)\right)$ mới đọc được đúng: co ngang hệ số $\dfrac12$ trước, rồi dời sang trái $3$ — cho $\dfrac12-3=-2.5$, khớp với phép tính thẳng ở trên.
Cho $f(x)=\dfrac{2x+1}{x-3}$. Nêu hai tiệm cận và hai giao điểm với trục toạ độ, mô tả $f$ như một dãy phép biến đổi từ $y=\dfrac{1}{x}$, rồi nêu miền giá trị của $f$.
Tách phần nguyên. Chia tử cho mẫu:
$$\frac{2x+1}{x-3}=\frac{2(x-3)+7}{x-3}=2+\frac{7}{x-3}$$Đọc thẳng từ dạng vừa tách. Tiệm cận đứng $x=3$; tiệm cận ngang $y=2$ (giá trị mà $\dfrac{7}{x-3}$ tiến tới $0$). Giao với trục hoành khi $2x+1=0$, tức $\left(-\dfrac12,0\right)$; giao với trục tung tại $f(0)=\dfrac{1}{-3}$, tức $\left(0,-\dfrac13\right)$.
Dãy phép biến đổi từ $y=\dfrac1x$: dời sang phải $3$ đơn vị, kéo dãn dọc hệ số $7$, rồi dời lên $2$ đơn vị.
Miền giá trị. Vì $\dfrac{7}{x-3}$ nhận mọi giá trị khác $0$, nên $f$ nhận mọi giá trị khác $2$: miền giá trị là $y\neq 2$.
Lưu ý $-\dfrac13$ là giao điểm với trục tung, không phải tiệm cận ngang. Hai con số này bị lẫn với nhau rất thường xuyên vì cả hai đều lấy được bằng cách “thay $x=0$” trong đầu người làm vội.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Functions gồm 14 câu trắc nghiệm và 6 đề tự luận, ra khó hơn đề thật 30–50%. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.