The binomial theorem, counting and rational indices

Định lý nhị thức, phép đếm và số mũ hữu tỉ

← Mục lục bài học

Lý thuyết · English

The binomial theorem

For a positive integer $n$,

$$(a+b)^{n}=\sum_{r=0}^{n}\binom{n}{r}a^{\,n-r}b^{\,r},\qquad \binom{n}{r}=\frac{n!}{r!\,(n-r)!}$$

The general term is $\binom{n}{r}a^{\,n-r}b^{\,r}$. It is the $(r+1)$-th term, not the $r$-th: the count starts at $r=0$.

To find a particular term, do not expand. Write the general term, collect the powers of $x$ into a single exponent, set that exponent equal to the power you want, and solve for $r$.

Counting principles

$\binom{n}{r}$ counts the ways of choosing $r$ objects from $n$ when order does not matter; $\dfrac{n!}{(n-r)!}$ counts them when order does matter. Selections that must satisfy “at least” conditions are handled by splitting into disjoint cases and adding, or by subtracting the unwanted cases from the total.

Extension to rational and negative indices

For any $n\in\mathbb{Q}$,

$$(1+x)^{n}=1+nx+\frac{n(n-1)}{2!}x^{2}+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^{3}+\cdots,\qquad |x|<1$$

The expansion no longer terminates, and the condition $|x|<1$ is part of the answer. For $(1+ax)^{n}$ the condition becomes $|ax|<1$, that is $|x|<\dfrac{1}{|a|}$.

Giải thích tiếng Việt

Định lý nhị thức. Với $n$ nguyên dương, $(a+b)^{n}=\displaystyle\sum_{r=0}^{n}\binom{n}{r}a^{\,n-r}b^{\,r}$. Số hạng tổng quát $\binom{n}{r}a^{\,n-r}b^{\,r}$ là số hạng thứ $r+1$, vì $r$ đếm từ $0$. Đề IB đôi khi hỏi “số hạng thứ tư”, và đó là $r=3$.

Không khai triển. Muốn tìm một số hạng cụ thể thì viết số hạng tổng quát, gom hết luỹ thừa của $x$ về một số mũ duy nhất, cho số mũ đó bằng số mũ cần tìm rồi giải ra $r$. Khai triển cả $(x+y)^{10}$ để lấy một hệ số là cách chắc chắn hết giờ.

Ví dụ với $\left(x^{3}+\dfrac{2}{x^{2}}\right)^{10}$: số hạng tổng quát là $\binom{10}{r}\left(x^{3}\right)^{10-r}\left(2x^{-2}\right)^{r}$, số mũ của $x$ bằng $3(10-r)-2r=30-5r$.

Đếm. $\binom{n}{r}$ đếm cách chọn $r$ vật từ $n$ khi thứ tự không quan trọng; $\dfrac{n!}{(n-r)!}$ đếm khi thứ tự có quan trọng. Điều kiện dạng “ít nhất $k$” xử lý bằng cách chia thành các trường hợp rời nhau rồi cộng, hoặc lấy tổng trừ đi phần không mong muốn. Không được “chọn $k$ cái bắt buộc trước rồi chọn tự do phần còn lại” — cách đó đếm mỗi tổ hợp nhiều lần.

Mũ hữu tỉ và mũ âm. Với $n$ hữu tỉ bất kỳ, $(1+x)^{n}=1+nx+\dfrac{n(n-1)}{2!}x^{2}+\dfrac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^{3}+\cdots$ và khai triển này vô hạn, chỉ đúng khi $|x|<1$. Với $(1+ax)^{n}$ điều kiện là $|x|<\dfrac{1}{|a|}$ — hệ số bên trong kéo theo bán kính hội tụ, và IB cho điểm riêng cho dòng điều kiện đó.

Tam giác Pascal là bảng tra hệ số nhị thức, và dòng đánh số từ $0$. Dòng $n=6$ cho toàn bộ hệ số của $(1+x)^6$ theo thứ tự $x^0,x^1,\dots,x^6$, nên số khoanh tròn $20$ là hệ số của $x^{3}$ — tức $\binom{6}{3}$, chứ không phải $\binom{6}{4}$ dù nó đứng ở ô thứ tư. Mũi tên chỉ ra quan hệ $\binom{6}{3}=\binom{5}{2}+\binom{5}{3}=10+10$, cũng là cách dựng cả tam giác. Hai chỗ đọc sai hay gặp trong phòng thi: đếm dòng từ $1$ (lấy nhầm dòng $n=5$), và đếm ô từ $1$ (lấy $\binom{6}{4}=15$ cho $x^3$). Cả hai đều cho một số có mặt trong tam giác nên không có gì gợn.

Ví dụ — số hạng không chứa x

Tìm số hạng không chứa $x$ trong khai triển của $\left(2x^{2}-\dfrac{3}{x}\right)^{9}$.

Giải.

Viết số hạng tổng quát.

$$T_{r+1}=\binom{9}{r}\left(2x^{2}\right)^{9-r}\left(-\frac{3}{x}\right)^{r}=\binom{9}{r}2^{\,9-r}(-3)^{r}\,x^{2(9-r)-r}$$

Cho số mũ bằng $0$. $18-2r-r=18-3r=0$ nên $r=6$.

$$T_{7}=\binom{9}{6}\,2^{3}\,(-3)^{6}=84\times 8\times 729=489\,888$$

Kiểm dấu bằng lý luận, không bằng máy. $r=6$ chẵn nên $(-3)^{6}$ dương, số hạng phải dương — nếu bấm ra số âm thì chắc chắn đã đánh rơi một luỹ thừa chẵn.

Lưu ý $\binom{9}{6}=\binom{9}{3}=84$: dùng tính đối xứng để bấm số nhỏ hơn thì ít sai hơn.

Ví dụ — khai triển với số mũ âm và điều kiện hội tụ

Khai triển $(1+2x)^{-1/2}$ theo luỹ thừa tăng dần của $x$, tới và bao gồm số hạng $x^{3}$. Nêu rõ điều kiện của $x$ để khai triển đúng.

Giải.

Dùng công thức mũ hữu tỉ với $n=-\dfrac12$ và biến trong ngoặc là $u=2x$.

$$(1+u)^{-1/2}=1-\frac12u+\frac{\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)}{2!}u^{2}+\frac{\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)\left(-\frac52\right)}{3!}u^{3}+\cdots$$$$=1-\frac12u+\frac{3}{8}u^{2}-\frac{5}{16}u^{3}+\cdots$$

Thay $u=2x$ — và nhớ nâng luỹ thừa cho cả hệ số $2$.

$$(1+2x)^{-1/2}=1-x+\frac{3}{8}\left(4x^{2}\right)-\frac{5}{16}\left(8x^{3}\right)+\cdots=1-x+\frac{3}{2}x^{2}-\frac{5}{2}x^{3}+\cdots$$

Điều kiện. Cần $|u|<1$, tức $|2x|<1$, tức $|x|<\dfrac12$.

Thử nhanh với $x=0.1$: khai triển cho $1-0.1+0.015-0.0025=0.9125$, còn $(1.2)^{-1/2}=0.91287$. Sai lệch cỡ $4\times10^{-4}$ — đúng cỡ của số hạng $x^{4}$ bị bỏ.

Bẫy hay mất điểm — Ghi điều kiện hội tụ là $|x|<1$ cho mọi khai triển, kể cả khi trong ngoặc là $(1+3x)$ hay $\left(2+x\right)$. Cơ chế: công thức trong sách công thức IB viết cho $(1+x)^{n}$, và mắt chép thẳng dòng $|x|<1$ nằm ngay cạnh nó. Nhưng biến thật của khai triển là toàn bộ cụm đứng sau số $1$: với $(1+3x)^{n}$ thì điều kiện là $|3x|<1$, tức $|x|<\dfrac13$. Nặng hơn nữa là dạng $(2+x)^{n}$: phải đưa về $2^{\,n}\left(1+\dfrac{x}{2}\right)^{n}$ trước, và điều kiện thành $|x|<2$ — rộng hơn chứ không hẹp hơn. Học viên nhớ máy móc “luôn hẹp hơn 1” sẽ sai cả hai chiều. Điều kiện này là một ý điểm riêng trong rubric của IB, không phải phần trang trí cuối bài.

Phải nhớ — Mọi câu nhị thức đều quy về một quy trình: viết số hạng tổng quát, gom số mũ, giải ra $r$, rồi mới bấm số. Với mũ hữu tỉ thì có thêm đúng một ý nữa nhưng ý đó ăn điểm — nêu miền hội tụ theo cụm biến thật, không chép nguyên $|x|<1$.

Đọc xong rồi — làm thử ngay

Bài tập của chương Number and Algebra gồm 14 câu trắc nghiệm và 6 đề tự luận, ra khó hơn đề thật 30–50%. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.

Làm bài tập chương →

← Bài trướcExponents, logarithms and exponential equations Bài sau →Domain, range, composite and inverse functions