Mục lục bài họcĐang ở d04-b2
Probability rules, conditional probability and tree diagrams
The basic rules
$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B),\qquad P(A')=1-P(A)$$The subtraction removes the double count of the overlap; leaving it out is the single most common slip in Venn-diagram questions.
Conditional probability
$$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\qquad\text{hence}\qquad P(A\cap B)=P(B)\,P(A\mid B)$$Conditioning on $B$ shrinks the sample space to $B$: the denominator changes, and that is the whole idea.
Independent versus mutually exclusive
These are different, and in fact opposite in spirit:
- $A$ and $B$ are independent when $P(A\cap B)=P(A)P(B)$, equivalently $P(A\mid B)=P(A)$: knowing $B$ tells you nothing about $A$;
- $A$ and $B$ are mutually exclusive when $P(A\cap B)=0$: they cannot both happen.
If two events with non-zero probabilities are mutually exclusive, they are certainly not independent, because knowing that $B$ happened tells you that $A$ did not.
Tree diagrams and Bayes
Multiply along a branch to get an intersection; add the branches leading to the same outcome to get a total probability. To reverse a conditional, divide one branch by that total:
$$P(A\mid B)=\frac{P(A)\,P(B\mid A)}{P(A)\,P(B\mid A)+P(A')\,P(B\mid A')}$$Ba luật nền. $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ và $P(A')=1-P(A)$. Phép trừ ở luật đầu tồn tại để bỏ phần đếm hai lần của giao; quên nó là lỗi số một ở câu biểu đồ Venn.
Xác suất có điều kiện.
$$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$$Điều kiện hoá theo $B$ nghĩa là thu nhỏ không gian mẫu lại còn $B$ — mẫu số đổi, và đó chính là toàn bộ ý tưởng. Vì mẫu số của $P(A\mid B)$ và $P(B\mid A)$ khác nhau nên hai số này nói chung khác nhau, đôi khi khác rất xa.
Độc lập khác xung khắc. Hai khái niệm này không những khác nhau mà còn gần như trái ngược:
- Độc lập: $P(A\cap B)=P(A)P(B)$, tương đương $P(A\mid B)=P(A)$ — biết $B$ xảy ra không nói thêm điều gì về $A$;
- Xung khắc: $P(A\cap B)=0$ — hai biến cố không thể cùng xảy ra.
Nếu hai biến cố có xác suất khác $0$ mà xung khắc thì chúng chắc chắn không độc lập: biết $B$ đã xảy ra là biết chắc $A$ không xảy ra, tức thông tin về $B$ nói rất nhiều về $A$.
Sơ đồ cây và công thức Bayes. Nhân dọc một nhánh để có xác suất giao; cộng các nhánh dẫn tới cùng kết cục để có xác suất toàn phần. Muốn đảo chiều điều kiện thì lấy một nhánh chia cho tổng ấy:
$$P(A\mid B)=\frac{P(A)\,P(B\mid A)}{P(A)\,P(B\mid A)+P(A')\,P(B\mid A')}$$Không cần học thuộc công thức này nếu đã vẽ cây: nó chỉ là “một nhánh chia cho tổng các nhánh cùng kết cục”.
Cho $P(A)=0{,}6$, $P(B)=0{,}5$ và $P(A\cup B)=0{,}8$. Tìm $P(A\cap B)$, $P(A\mid B)$ và $P(B\mid A)$, rồi xét xem $A$ và $B$ có độc lập không.
Giao. Từ luật cộng:
$$P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)=0{,}6+0{,}5-0{,}8=0{,}3$$Hai xác suất có điều kiện. Cùng một tử số, khác mẫu số:
$$P(A\mid B)=\frac{0{,}3}{0{,}5}=0{,}6,\qquad P(B\mid A)=\frac{0{,}3}{0{,}6}=0{,}5$$Độc lập hay không. So sánh $P(A\cap B)$ với $P(A)P(B)$:
$$P(A)P(B)=0{,}6\times 0{,}5=0{,}3=P(A\cap B)$$Bằng nhau, nên $A$ và $B$ độc lập. Kết quả này khớp với hai xác suất có điều kiện vừa tính: $P(A\mid B)=0{,}6=P(A)$ và $P(B\mid A)=0{,}5=P(B)$ — biết biến cố này không làm đổi đánh giá về biến cố kia.
Chú ý là hai biến cố này không xung khắc, vì $P(A\cap B)=0{,}3\neq 0$. Độc lập và xung khắc ở đây đứng hai bên: một cái có, một cái không.
Xác suất trời mưa vào một buổi sáng là $0{,}3$. Nếu trời mưa, xác suất An đi học muộn là $0{,}8$; nếu không mưa, xác suất ấy là $0{,}1$. Tính xác suất An đi muộn, và xác suất trời đã mưa nếu biết hôm đó An đi muộn.
Bốn nhánh của cây. Nhân dọc từng nhánh:
$$P(R\cap M)=0{,}3\times 0{,}8=0{,}24,\qquad P(R'\cap M)=0{,}7\times 0{,}1=0{,}07$$Xác suất toàn phần. Hai nhánh cùng dẫn tới “muộn”:
$$P(M)=0{,}24+0{,}07=0{,}31$$Đảo chiều điều kiện.
$$P(R\mid M)=\frac{P(R\cap M)}{P(M)}=\frac{0{,}24}{0{,}31}=0{,}774$$Hai con số $0{,}8$ và $0{,}774$ trông gần nhau nhưng là hai đại lượng khác hẳn. $0{,}8=P(M\mid R)$ chia cho $P(R)=0{,}3$; còn $0{,}774=P(R\mid M)$ chia cho $P(M)=0{,}31$. Chúng gần bằng nhau ở bài này chỉ vì $P(R)$ và $P(M)$ tình cờ gần nhau.
Kiểm tổng: $P(R'\mid M)=\dfrac{0{,}07}{0{,}31}=0{,}226$, và $0{,}774+0{,}226=1$ — đúng như phải thế, vì đã biết An đi muộn thì trời hoặc mưa hoặc không.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Statistics and Probability gồm 14 câu trắc nghiệm và 6 đề tự luận, ra khó hơn đề thật 30–50%. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.