Mục lục bài họcĐang ở d05-b2
Integration: antiderivatives, area and volume
Standard integrals
$$\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c\ (n\neq-1),\quad \int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+c,\quad \int e^{kx}dx=\frac{e^{kx}}{k}+c$$$$\int(ax+b)^{n}dx=\frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}+c$$The extra $\dfrac{1}{a}$ in the last line is the chain rule running backwards — omitting it is the single most common integration error.
Choosing a technique
- Recognition: the integrand is $\dfrac{f'}{f}$ or $f'\!\left(g\right)g'$;
- Substitution: an inner function and (a multiple of) its derivative both appear;
- By parts: $\displaystyle\int u\frac{dv}{dx}dx=uv-\int v\frac{du}{dx}dx$, choosing $u$ to be the factor that simplifies when differentiated.
Area and volume
$$\text{area between curves}=\int_{a}^{b}\left(y_{\text{top}}-y_{\text{bottom}}\right)dx,\qquad V=\pi\int_{a}^{b}y^{2}\,dx$$Area asks for a positive quantity, so a region below the axis needs its integral negated or the limits split at each crossing.
Bảng nguyên hàm cần thuộc, kèm một chi tiết quyết định:
$$\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c\ (n\neq-1),\qquad \int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+c,\qquad \int e^{kx}dx=\frac{e^{kx}}{k}+c$$$$\int(ax+b)^{n}dx=\frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}+c$$Thừa số $\dfrac{1}{a}$ ở dòng cuối chính là quy tắc dây chuyền chạy ngược. Quên nó là lỗi tích phân phổ biến nhất, và cách phòng rẻ nhất là đạo hàm lại kết quả — mất năm giây và bắt được lỗi ngay.
Chọn kỹ thuật. Đây mới là phần khó; phép tính thì máy móc:
- Nhận dạng: biểu thức có dạng $\dfrac{f'}{f}$ (ra logarit) hoặc $f'\!\left(g\right)g'$ (ra hàm hợp);
- Đổi biến: có một hàm bên trong và đạo hàm của nó (sai khác một hằng số) cùng xuất hiện;
- Từng phần: $\displaystyle\int u\frac{dv}{dx}dx=uv-\int v\frac{du}{dx}dx$, chọn $u$ là thừa số đơn giản đi khi đạo hàm. Với $x\cos x$ thì $u=x$; với $x^{2}\ln x$ thì $u=\ln x$.
Dấu hiệu chọn sai: sau một lần từng phần mà bài phức tạp lên thì quay lại đổi vai trò, đừng đi tiếp.
Diện tích và thể tích.
$$\text{diện tích giữa hai đường}=\int_{a}^{b}\left(y_{\text{trên}}-y_{\text{dưới}}\right)dx,\qquad V=\pi\int_{a}^{b}y^{2}\,dx$$Diện tích là đại lượng dương, nên phần miền nằm dưới trục phải đổi dấu tích phân hoặc phải tách cận tại mỗi giao điểm. Ở công thức thể tích, nhớ bình phương cả biểu thức $y$ chứ không bình phương từng hạng tử.
Tính diện tích miền giới hạn bởi $y=2x$ và $y=x^{2}$.
Bước 1 — tìm cận từ giao điểm.
$$2x=x^{2}\;\Longrightarrow\;x^{2}-2x=0\;\Longrightarrow\;x(x-2)=0\;\Longrightarrow\;x=0,\ x=2$$Bước 2 — xác định đường nào ở trên. Thử $x=1$: đường thẳng cho $2$, parabol cho $1$. Vậy đường thẳng nằm trên trong toàn khoảng.
Bước 3 — lấy tích phân của hiệu.
$$A=\int_{0}^{2}\left(2x-x^{2}\right)dx=\left[x^{2}-\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{2}=\left(4-\frac{8}{3}\right)-0=\frac{4}{3}$$Kiểm hợp lý: miền nằm gọn trong tam giác đỉnh $(0,0)$, $(2,0)$, $(2,4)$ có diện tích $4$; đáp số $\dfrac{4}{3}\approx 1.33$ nhỏ hơn — hợp lý.
Lấy hiệu trước rồi mới tích phân là cách gọn nhất và tránh được lỗi trừ nhầm dấu ở cuối. Tích phân riêng từng đường rồi trừ cũng ra đúng, nhưng phải nhớ cả hai dùng chung cận $0$ và $2$.
Tính $\displaystyle\int x\cos x\,dx$ và $\displaystyle\int\frac{2x}{x^{2}+3}\,dx$, và nêu vì sao hai bài dùng hai kỹ thuật khác nhau.
Bài thứ hai trước, vì nó nhận ra bằng mắt. Đạo hàm của mẫu $x^{2}+3$ là $2x$, đúng bằng tử. Đây là dạng $\dfrac{f'}{f}$:
$$\int\frac{2x}{x^{2}+3}dx=\ln\left(x^{2}+3\right)+c$$(Không cần dấu trị tuyệt đối vì $x^{2}+3>0$ với mọi $x$.)
Bài thứ nhất cần từng phần, vì hai thừa số $x$ và $\cos x$ không liên quan gì tới nhau qua phép đạo hàm. Chọn $u=x$ (đạo hàm ra $1$, đơn giản dần) và $\dfrac{dv}{dx}=\cos x$ (nguyên hàm là $\sin x$):
$$\int x\cos x\,dx=x\sin x-\int\sin x\,dx=x\sin x+\cos x+c$$Kiểm bằng cách đạo hàm lại: $\dfrac{d}{dx}\left(x\sin x+\cos x\right)=\sin x+x\cos x-\sin x=x\cos x$. Khớp.
Vì sao hai kỹ thuật khác nhau. Nhận dạng hỏi một câu duy nhất: đạo hàm của một phần có xuất hiện ở phần còn lại không? Với $\dfrac{2x}{x^{2}+3}$ thì có, nên đổi biến hoặc nhận dạng thẳng. Với $x\cos x$ thì không — đạo hàm của $\cos x$ là $-\sin x$, chẳng liên quan gì tới $x$ — nên phải dùng từng phần, kỹ thuật dành cho tích của hai hàm độc lập với nhau.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Calculus gồm 14 câu trắc nghiệm và 6 đề tự luận, ra khó hơn đề thật 30–50%. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.