Mục lục bài họcĐang ở d05-b1
Differentiation: rules, tangents and the second derivative
The three rules
$$\text{chain: }\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx},\qquad \text{product: }(uv)'=u'v+uv',\qquad \text{quotient: }\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$$The order in the quotient numerator is content, not decoration: reversing it negates the whole answer, and the answer still looks plausible.
Standard derivatives
$$\frac{d}{dx}x^{n}=nx^{n-1},\quad \frac{d}{dx}e^{kx}=ke^{kx},\quad \frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x},\quad \frac{d}{dx}\sin x=\cos x,\quad \frac{d}{dx}\tan x=\sec^{2}x$$Tangents, normals and stationary points
The gradient of the tangent at $x=a$ is $f'(a)$; the normal has gradient $-\dfrac{1}{f'(a)}$.
Stationary points solve $f'(x)=0$. Classify with $f''$: positive means minimum, negative means maximum. If $f''=0$ the test is inconclusive — check the sign of $f'$ on either side instead.
Concavity and inflexion
$f''>0$ is concave up, $f''<0$ concave down. A point of inflexion needs $f''=0$ and a change of sign in $f''$ — the second condition is the one candidates omit.
Ba quy tắc. Dây chuyền $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}$; tích $(uv)'=u'v+uv'$; thương $\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}$.
Ở quy tắc thương, thứ tự ở tử là nội dung, không phải hình thức: viết ngược thành $uv'-u'v$ là đổi dấu toàn bộ kết quả, mà kết quả vẫn trông hợp lý nên không tự phát hiện được. Cách nhớ: đạo hàm của tử đứng trước, y như thứ tự đọc phân số từ trên xuống.
Bảng đạo hàm cần thuộc: $x^{n}\to nx^{n-1}$, $e^{kx}\to ke^{kx}$, $\ln x\to\dfrac{1}{x}$, $\sin x\to\cos x$, $\cos x\to-\sin x$, $\tan x\to\sec^{2}x$.
Tiếp tuyến, pháp tuyến, điểm dừng. Hệ số góc tiếp tuyến tại $x=a$ là $f'(a)$; pháp tuyến vuông góc với nó nên có hệ số góc $-\dfrac{1}{f'(a)}$. Điểm dừng giải từ $f'(x)=0$, rồi phân loại bằng $f''$: dương là cực tiểu, âm là cực đại.
Chú ý trường hợp $f''=0$: phép thử đạo hàm cấp hai khi ấy không kết luận được, phải quay sang xét dấu $f'$ hai bên. Hàm $y=x^{4}$ có $f''(0)=0$ nhưng $x=0$ vẫn là cực tiểu; hàm $y=x^{3}$ cũng có $f''(0)=0$ mà $x=0$ lại là điểm uốn.
Độ lõm và điểm uốn. $f''>0$ là lõm lên, $f''<0$ là lõm xuống. Điểm uốn cần $f''=0$ và $f''$ phải đổi dấu qua điểm đó — vế thứ hai là vế thí sinh hay bỏ quên, và nó là lý do $y=x^{4}$ tại $x=0$ không phải điểm uốn.
Cho đường cong $y=x^{3}-2x$. Tìm phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến tại điểm có hoành độ $x=2$.
Bước 1 — toạ độ điểm. Nhiều bài mất điểm ở đúng bước này vì đề chỉ cho hoành độ.
$$y(2)=8-4=4\;\Longrightarrow\;\text{điểm }(2,\,4)$$Bước 2 — hệ số góc tiếp tuyến.
$$\frac{dy}{dx}=3x^{2}-2\;\Longrightarrow\;\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=2}=12-2=10$$Bước 3 — phương trình tiếp tuyến. Dùng dạng điểm–hệ số góc:
$$y-4=10(x-2)\;\Longrightarrow\;y=10x-16$$Bước 4 — pháp tuyến. Pháp tuyến vuông góc với tiếp tuyến nên hệ số góc là nghịch đảo âm:
$$m_{\text{pháp}}=-\frac{1}{10}\;\Longrightarrow\;y-4=-\frac{1}{10}(x-2)\;\Longrightarrow\;y=-\frac{x}{10}+\frac{21}{5}$$Kiểm nhanh: cả hai đường phải đi qua $(2,4)$. Thay vào tiếp tuyến được $20-16=4$; thay vào pháp tuyến được $-0.2+4.2=4$. Khớp cả hai.
Lỗi hay gặp nhất ở dạng này là dùng giá trị hàm làm hệ số góc, tức viết $y-4=4(x-2)$. Phân biệt cho rõ: $f(a)$ cho độ cao, $f'(a)$ cho độ dốc.
Cho $f(x)=x^{4}-4x^{3}$. Tìm mọi điểm dừng và phân loại chúng.
Bước 1 — tìm điểm dừng.
$$f'(x)=4x^{3}-12x^{2}=4x^{2}(x-3)=0\;\Longrightarrow\;x=0\ \text{hoặc}\ x=3$$Bước 2 — thử bằng đạo hàm cấp hai.
$$f''(x)=12x^{2}-24x=12x(x-2)$$Tại $x=3$: $f''(3)=12(3)(1)=36>0$, nên đó là cực tiểu.
Tại $x=0$: $f''(0)=0$ — phép thử không kết luận được. Đây là chỗ bài này thật sự hỏi.
Bước 3 — quay sang xét dấu $f'$ hai bên $x=0$. Vì $f'(x)=4x^{2}(x-3)$ và $4x^{2}\ge 0$ luôn, dấu của $f'$ chỉ do $(x-3)$ quyết định. Với mọi $x$ gần $0$, ta có $x-3<0$, nên $f'<0$ ở cả hai bên.
Hàm giảm trước và giảm sau, không đổi chiều, nên $x=0$ không phải cực trị — nó là một điểm yên ngựa (điểm dừng nằm ngang trên một đoạn đơn điệu).
Bài học rút ra: $f''=0$ không nói lên điều gì cả. Nó không khẳng định điểm uốn, cũng không loại trừ cực trị — phải xét dấu $f'$ mới trả lời được.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Calculus gồm 14 câu trắc nghiệm và 6 đề tự luận, ra khó hơn đề thật 30–50%. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.