Mục lục bài họcĐang ở d03-b3
Vectors, lines in space and the scalar product
Vectors, magnitude and the scalar product
For $\mathbf{v}=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$, $|\mathbf{v}|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$, and the unit vector in that direction is $\dfrac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|}$. If $A$ and $B$ have position vectors $\mathbf{a}$ and $\mathbf{b}$ then $\overrightarrow{AB}=\mathbf{b}-\mathbf{a}$.
$$\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3=|\mathbf{u}||\mathbf{v}|\cos\theta$$Hence $\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=0$ exactly when the two vectors are perpendicular, and a negative scalar product means an obtuse angle. The scalar product is a number, never a vector.
The vector equation of a line
$$\mathbf{r}=\mathbf{a}+\lambda\mathbf{b}$$where $\mathbf{a}$ is the position vector of one point on the line and $\mathbf{b}$ is a direction vector. Neither is unique: any point of the line and any non-zero multiple of $\mathbf{b}$ give the same line.
Two lines in space
Two lines in three dimensions are parallel if their direction vectors are multiples of one another; otherwise they either intersect or are skew. To decide, set the two position expressions equal. This gives three equations in two unknowns: solve two of them, then substitute into the third. If the third fails, the lines are skew.
The acute angle between two lines is found from the directions, using $\cos\theta=\dfrac{\left|\mathbf{b}_1\cdot\mathbf{b}_2\right|}{|\mathbf{b}_1||\mathbf{b}_2|}$ — the modulus signs are what force the answer to be acute.
Độ dài và vectơ đơn vị. Với $\mathbf{v}=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$ thì $|\mathbf{v}|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$, và vectơ đơn vị cùng hướng là $\dfrac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|}$ — chia cho độ dài, không phải cho bình phương độ dài. Với hai điểm, $\overrightarrow{AB}=\mathbf{b}-\mathbf{a}$: điểm đến trừ điểm đi.
Tích vô hướng.
$$\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3=|\mathbf{u}||\mathbf{v}|\cos\theta$$Nên $\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=0$ khi và chỉ khi hai vectơ vuông góc, và tích vô hướng âm nghĩa là góc tù. Kết quả là một số, không phải vectơ — viết kèm $\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}$ là sai về bản chất.
Phương trình vectơ của đường thẳng. $\mathbf{r}=\mathbf{a}+\lambda\mathbf{b}$, với $\mathbf{a}$ là vectơ vị trí của một điểm nằm trên đường thẳng và $\mathbf{b}$ là một vectơ chỉ phương. Cả hai đều không duy nhất: lấy điểm khác trên cùng đường thẳng, hoặc nhân $\mathbf{b}$ với một số khác $0$, vẫn là đường thẳng ấy. Vì vậy hai phương trình trông khác nhau hoàn toàn có thể mô tả cùng một đường.
Hai đường thẳng trong không gian. Song song nếu hai vectơ chỉ phương tỉ lệ; nếu không thì chúng hoặc cắt nhau hoặc chéo nhau. Cách phân biệt: cho hai biểu thức vị trí bằng nhau, được ba phương trình với hai ẩn $\lambda,\mu$; giải hai phương trình rồi thay vào phương trình thứ ba. Bước thay vào ấy là bước quyết định, và cũng là bước bị bỏ nhiều nhất.
Góc giữa hai đường thẳng tính từ hai vectơ chỉ phương, và luôn kèm dấu giá trị tuyệt đối: $\cos\theta=\dfrac{\left|\mathbf{b}_1\cdot\mathbf{b}_2\right|}{|\mathbf{b}_1||\mathbf{b}_2|}$. Dấu ấy tồn tại vì đường thẳng không có chiều — đảo chiều vectơ chỉ phương vẫn là đường thẳng đó — nên góc giữa hai đường thẳng theo quy ước là góc nhọn.
Cho đường thẳng $L:\ \mathbf{r}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}$ và điểm $P(4,4,4)$. Tìm điểm $F$ trên $L$ gần $P$ nhất, và khoảng cách từ $P$ tới $L$.
Viết $F$ theo một ẩn. Mọi điểm của $L$ có dạng
$$F=\begin{pmatrix}1+2\lambda\\2-\lambda\\3+2\lambda\end{pmatrix}\;\Longrightarrow\;\overrightarrow{PF}=\begin{pmatrix}2\lambda-3\\-\lambda-2\\2\lambda-1\end{pmatrix}$$Áp điều kiện vuông góc. $F$ gần $P$ nhất khi $\overrightarrow{PF}$ vuông góc với vectơ chỉ phương:
$$2\left(2\lambda-3\right)+(-1)\left(-\lambda-2\right)+2\left(2\lambda-1\right)=0$$$$4\lambda-6+\lambda+2+4\lambda-2=0\;\Longrightarrow\;9\lambda-6=0\;\Longrightarrow\;\lambda=\frac23$$Toạ độ và khoảng cách.
$$F=\left(\frac73,\ \frac43,\ \frac{13}{3}\right),\qquad \overrightarrow{PF}=\frac13\begin{pmatrix}-5\\-8\\1\end{pmatrix}$$$$\left|\overrightarrow{PF}\right|=\frac13\sqrt{25+64+1}=\frac{\sqrt{90}}{3}=\sqrt{10}\approx 3{,}162$$Kiểm nhanh: điểm $A(1,2,3)$ nằm trên $L$ và $\left|\overrightarrow{AP}\right|=\sqrt{9+4+1}=\sqrt{14}\approx 3{,}742$. Khoảng cách tới đường thẳng phải nhỏ hơn khoảng cách tới một điểm bất kỳ của nó — $3{,}162<3{,}742$, hợp lý.
Cho $L_1:\ \mathbf{r}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}$ và $L_2:\ \mathbf{r}=\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$. Hai đường thẳng này cắt nhau, song song hay chéo nhau? Tìm góc nhọn giữa chúng.
Bước 1 — có song song không? $\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}$ không phải bội của $\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$ (thành phần đầu buộc hệ số bằng vô hạn), nên hai đường không song song.
Bước 2 — cho hai vị trí bằng nhau, được ba phương trình.
$$1+\lambda=2\quad(1)\qquad 2=\mu\quad(2)\qquad 3-\lambda=1+\mu\quad(3)$$Từ $(1)$: $\lambda=1$. Từ $(2)$: $\mu=2$.
Bước 3 — thay vào phương trình còn lại. Đây là bước quyết định:
$$3-1=2\qquad\text{nhưng}\qquad 1+2=3$$Vế trái cho $2$, vế phải cho $3$: phương trình $(3)$ không thoả. Hai đường thẳng không cắt nhau và cũng không song song, nên chúng chéo nhau.
Góc nhọn giữa hai đường. Dù chéo nhau, góc vẫn tính được từ hai vectơ chỉ phương:
$$\cos\theta=\frac{\left|1(0)+0(1)+(-1)(1)\right|}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\frac{1}{2}\;\Longrightarrow\;\theta=60^{\circ}$$Không có dấu giá trị tuyệt đối thì $\cos\theta=-\dfrac12$ và $\theta=120^{\circ}$ — đúng cho hai vectơ, sai cho hai đường thẳng.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Geometry and Trigonometry gồm 14 câu trắc nghiệm và 6 đề tự luận, ra khó hơn đề thật 30–50%. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.