Mục lục bài họcĐang ở d01-b1
Arithmetic and geometric sequences and series
Arithmetic sequences and series
An arithmetic sequence has a constant common difference $d$, so $u_n=u_1+(n-1)d$. The sum of the first $n$ terms is
$$S_n=\frac{n}{2}\left(2u_1+(n-1)d\right)=\frac{n}{2}\left(u_1+u_n\right)$$The second form is the one to reach for whenever the last term is already known; the first is the one to use when only $u_1$ and $d$ are known.
Geometric sequences and series
A geometric sequence has a constant common ratio $r$, so $u_n=u_1r^{\,n-1}$ and
$$S_n=\frac{u_1\left(r^{\,n}-1\right)}{r-1}=\frac{u_1\left(1-r^{\,n}\right)}{1-r},\qquad r\neq 1$$The series converges if and only if $|r|<1$, and only then does the sum to infinity exist:
$$S_\infty=\frac{u_1}{1-r},\qquad |r|<1$$Sigma notation
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}u_k=u_1+u_2+\cdots+u_n$. Two standard results are worth knowing without derivation: $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$ and $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}c=nc$ for a constant $c$.
- A linear expression in $k$ under the sigma always gives an arithmetic series;
- an expression of the form $a\cdot b^{\,k}$ always gives a geometric series;
- the number of terms in $\displaystyle\sum_{k=m}^{n}$ is $n-m+1$, not $n-m$.
Cấp số cộng. Công sai $d$ không đổi, $u_n=u_1+(n-1)d$. Chữ $(n-1)$ ở đó là chỗ mất điểm nhiều nhất của cả chương: $u_7$ cách $u_1$ đúng sáu bước, không phải bảy. Cách tự bảo vệ là luôn viết ra $u_7=u_1+6d$ trước khi thay số.
$$S_n=\frac{n}{2}\left(2u_1+(n-1)d\right)=\frac{n}{2}\left(u_1+u_n\right)$$Hai dạng là một; dạng sau tiện khi đề đã cho số hạng cuối, dạng trước tiện khi chỉ có $u_1$ và $d$. Đề IB rất hay cho hai số hạng bất kỳ (chẳng hạn $u_7$ và $u_{15}$) rồi bắt tìm tổng — khi đó $d$ lấy được ngay bằng hiệu chia cho hiệu chỉ số: $d=\dfrac{u_{15}-u_7}{15-7}$.
Cấp số nhân. Công bội $r$ không đổi, $u_n=u_1r^{\,n-1}$, và
$$S_n=\frac{u_1\left(1-r^{\,n}\right)}{1-r},\qquad r\neq 1$$Chuỗi hội tụ khi và chỉ khi $|r|<1$; chỉ khi đó tổng vô hạn $S_\infty=\dfrac{u_1}{1-r}$ mới có nghĩa. Công thức này vẫn cho ra một con số khi $|r|\ge 1$ — và đó chính là chỗ nguy hiểm, vì máy tính không hề báo gì.
Ký hiệu sigma. $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$ và $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}c=nc$. Biểu thức bậc nhất theo $k$ luôn sinh ra cấp số cộng; biểu thức dạng $a\cdot b^{\,k}$ luôn sinh ra cấp số nhân. Số số hạng của $\displaystyle\sum_{k=m}^{n}$ là $n-m+1$ chứ không phải $n-m$ — đây là lỗi lệch một đơn vị kinh điển, và nó chỉ làm đáp số lệch đi một số hạng nên trông vẫn rất hợp lý.
Một cấp số cộng có $u_4=17$ và $u_9=42$. Tìm $u_1$, $d$, và giá trị $n$ nhỏ nhất sao cho $S_n>1000$.
Bước 1 — tìm $d$ từ hiệu chỉ số. Từ $u_4$ tới $u_9$ là $9-4=5$ bước, nên
$$5d=42-17=25\;\Longrightarrow\;d=5$$Bước 2 — lùi về $u_1$. $u_4=u_1+3d$ nên $u_1=17-15=2$.
Bước 3 — dựng bất phương trình.
$$S_n=\frac{n}{2}\left(2(2)+(n-1)5\right)=\frac{n(5n-1)}{2}>1000$$$$5n^{2}-n-2000>0\;\Longrightarrow\;n>\frac{1+\sqrt{1+40000}}{10}=\frac{1+\sqrt{40001}}{10}\approx 20.1$$Vì $n$ nguyên dương nên $n=21$. Thử lại để chắc: $S_{20}=\dfrac{20(99)}{2}=990<1000$ và $S_{21}=\dfrac{21(104)}{2}=1092>1000$.
Bước thử lại này đáng năm giây: nghiệm $20.1$ nằm sát một số nguyên, và người làm vội rất dễ làm tròn xuống thành $20$.
Tổng ba số hạng đầu của một cấp số nhân bằng $26$, còn tổng vô hạn của nó bằng $27$. Tìm $r$ và $u_1$.
Đừng giải hệ hai ẩn bằng cách thay số. Chia hai phương trình cho nhau thì $u_1$ tự triệt tiêu:
$$\frac{S_3}{S_\infty}=\frac{\dfrac{u_1\left(1-r^{3}\right)}{1-r}}{\dfrac{u_1}{1-r}}=1-r^{3}$$$$1-r^{3}=\frac{26}{27}\;\Longrightarrow\;r^{3}=\frac{1}{27}\;\Longrightarrow\;r=\frac{1}{3}$$Vì $\left|\dfrac13\right|<1$ nên tổng vô hạn thực sự tồn tại — bước kiểm này bắt buộc phải viết ra trong bài IB.
$$u_1=S_\infty(1-r)=27\left(1-\frac13\right)=18$$Kiểm: $18+6+2=26$. Ý hay của bài là tỉ số $\dfrac{S_3}{S_\infty}=1-r^{3}$ — tổng quát $\dfrac{S_n}{S_\infty}=1-r^{\,n}$, tức phần trăm tổng vô hạn đã đạt được sau $n$ số hạng. Nhiều câu Paper 2 hỏi thẳng theo lối đó.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Number and Algebra gồm 14 câu trắc nghiệm và 6 đề tự luận, ra khó hơn đề thật 30–50%. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.