Domain, range, composite and inverse functions

Miền xác định, miền giá trị, hàm hợp và hàm ngược

Lý thuyết · English

Domain, range and function notation

The domain of $f$ is the set of inputs for which $f(x)$ is defined; the range is the set of outputs actually produced. Unless a domain is stated, take the largest set of real numbers for which the formula makes sense: no division by zero, and no square root of a negative number.

Composite functions

$(f\circ g)(x)=f\left(g(x)\right)$: apply $g$ first, then $f$. In general $f\circ g\neq g\circ f$.

The domain of $f\circ g$ is the set of $x$ in the domain of $g$ for which $g(x)$ lies in the domain of $f$. Both conditions must be checked; the formula that comes out at the end does not record the first one.

Inverse functions

$f^{-1}$ exists only if $f$ is one-to-one: every horizontal line meets the graph at most once. Then

$$f^{-1}\left(f(x)\right)=x\quad\text{and}\quad f\left(f^{-1}(x)\right)=x$$

The graph of $y=f^{-1}(x)$ is the reflection of $y=f(x)$ in the line $y=x$. Consequently

domain of $f^{-1}$ = range of $f$;
range of $f^{-1}$ = domain of $f$.

Note that $f^{-1}(x)$ is not $\dfrac{1}{f(x)}$: the superscript $-1$ here names the inverse function, not a reciprocal.

Giải thích tiếng Việt

Miền xác định và miền giá trị. Miền xác định là tập đầu vào làm cho $f(x)$ có nghĩa; miền giá trị là tập đầu ra thực sự sinh ra. Khi đề không nói gì, lấy tập lớn nhất mà công thức còn nghĩa: không chia cho $0$, không lấy căn bậc chẵn của số âm.

Hàm hợp. $(f\circ g)(x)=f\left(g(x)\right)$ — làm $g$ trước, $f$ sau. Thứ tự đọc ngược với thứ tự viết, và đó là chỗ đầu tiên mất điểm. Nói chung $f\circ g\neq g\circ f$.

Miền xác định của $f\circ g$ gồm những $x$ vừa thuộc miền xác định của $g$, vừa làm cho $g(x)$ nằm trong miền xác định của $f$. Hai điều kiện, không phải một. Công thức rút gọn cuối cùng chỉ ghi lại điều kiện thứ hai — điều kiện thứ nhất biến mất khỏi mặt giấy nhưng vẫn còn hiệu lực.

Hàm ngược. $f^{-1}$ tồn tại chỉ khi $f$ là một-một: mọi đường thẳng nằm ngang cắt đồ thị nhiều nhất một lần. Khi đó $f^{-1}\left(f(x)\right)=x$ và $f\left(f^{-1}(x)\right)=x$.

$$\text{miền xác định của }f^{-1}=\text{miền giá trị của }f$$

và ngược lại. Đây là câu hỏi ăn điểm rất đều trong đề IB: tìm được công thức $f^{-1}$ chỉ là nửa bài, nửa còn lại là nêu miền, và miền đó phải đọc từ hàm gốc chứ không phải từ công thức mới.

Cuối cùng: $f^{-1}(x)$ không phải $\dfrac{1}{f(x)}$. Số $-1$ ở đây là tên gọi của hàm ngược, không phải số mũ.

Phép thử đường ngang, đọc bằng mắt. Đường đứt nét $y=4$ cắt parabol tại hai điểm, nên có hai giá trị $x$ cùng cho $y=4$; một hàm như vậy không thể có hàm ngược, vì $f^{-1}(4)$ sẽ phải trả về hai số cùng lúc. Cắt bỏ nhánh xám ($x<0$) thì mỗi đường ngang chỉ còn cắt một lần, và $f^{-1}(x)=\sqrt{x}$ tồn tại. Hình cũng cho đọc thẳng hai đại lượng mà đề hay hỏi: miền giá trị của nhánh giữ lại là $y\ge 0$, và nếu giữ nhánh xám thay vì nhánh xanh thì hàm ngược sẽ là $-\sqrt{x}$ chứ không phải $\sqrt{x}$. Nói cách khác, câu “hạn chế miền xác định” không chỉ để cho tồn tại — nó quyết định luôn dấu của hàm ngược.

Ví dụ — hai hàm hợp và phương trình cho chúng bằng nhau

Cho $f(x)=3x-2$ và $g(x)=x^{2}+1$. Tìm $(f\circ g)(x)$ và $(g\circ f)(x)$, rồi giải phương trình $(f\circ g)(x)=(g\circ f)(x)$.

Giải.

Hai hàm hợp. Thay nguyên cụm, đừng thay từng chữ:

$$(f\circ g)(x)=f\left(x^{2}+1\right)=3\left(x^{2}+1\right)-2=3x^{2}+1$$$$(g\circ f)(x)=g\left(3x-2\right)=\left(3x-2\right)^{2}+1=9x^{2}-12x+5$$

Cho bằng nhau.

$$3x^{2}+1=9x^{2}-12x+5\;\Longrightarrow\;6x^{2}-12x+4=0\;\Longrightarrow\;3x^{2}-6x+2=0$$$$x=\frac{6\pm\sqrt{36-24}}{6}=\frac{6\pm 2\sqrt{3}}{6}=1\pm\frac{\sqrt{3}}{3}$$

Hai nghiệm xấp xỉ $0.4226$ và $1.5774$. Kiểm nhanh với $x=1$: $(f\circ g)(1)=4$ còn $(g\circ f)(1)=2$ — khác nhau, đúng như dự đoán vì $x=1$ nằm giữa hai nghiệm.

Chỗ đáng ghi nhớ: $(f\circ g)$ và $(g\circ f)$ là hai hàm hoàn toàn khác nhau, và phương trình cho chúng bằng nhau thường có nghiệm — chỉ là hữu hạn nghiệm chứ không phải đồng nhất.

Ví dụ — hàm ngược của hàm phân thức và miền của nó

Cho $f(x)=\dfrac{2x+1}{x-3}$ với $x\neq 3$. Tìm $f^{-1}(x)$, rồi nêu miền xác định và miền giá trị của $f^{-1}$.

Giải.

Đặt $y=f(x)$ rồi giải ngược ra $x$.

$$y=\frac{2x+1}{x-3}\;\Longrightarrow\;y(x-3)=2x+1\;\Longrightarrow\;yx-3y=2x+1$$

Gom hết $x$ về một vế:

$$x(y-2)=3y+1\;\Longrightarrow\;x=\frac{3y+1}{y-2}$$$$f^{-1}(x)=\frac{3x+1}{x-2}$$

Miền lấy từ hàm gốc, không lấy từ công thức mới. Hàm $f$ có tiệm cận ngang $y=2$ nên miền giá trị của $f$ là $y\neq 2$; do đó miền xác định của $f^{-1}$ là $x\neq 2$. Miền xác định của $f$ là $x\neq 3$ nên miền giá trị của $f^{-1}$ là $y\neq 3$.

Ở đây công thức mới tình cờ cũng nói đúng điều đó ($x-2\neq 0$), nhưng sự trùng khớp này chỉ có ở hàm phân thức bậc nhất. Với $f(x)=x^{2}$ trên $x\ge 0$ thì công thức $f^{-1}(x)=\sqrt{x}$ không ghi lại được điều kiện $x\ge 0$ của hàm gốc.

Bẫy hay mất điểm — Nêu miền xác định của hàm hợp bằng cách nhìn vào công thức rút gọn. Ví dụ với $f(x)=\dfrac{1}{x-2}$ và $g(x)=\sqrt{x}$: hàm hợp là $(f\circ g)(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}-2}$, và công thức ấy chỉ “kêu” khi $\sqrt{x}=2$, tức $x=4$. Nhưng miền đúng là $x\ge 0$ và $x\neq 4$. Cơ chế: điều kiện $x\ge 0$ đến từ $g$, và sau khi $g$ đã bị thay vào trong thì nó không còn để lại dấu vết nào trên mặt giấy. Học viên viết ra công thức cuối rồi đọc điều kiện từ đó — một quy trình hợp lý nhưng bỏ mất đúng một nửa. Cùng lỗi ấy còn xuất hiện ở chiều ngược lại: với $(g\circ f)(x)=\sqrt{\dfrac{1}{x-2}}$ thì phải có $x-2>0$ (không phải $\ge$, và không phải $x\neq 2$). Thói quen tự bảo vệ: viết hai dòng điều kiện trước khi thay, rồi mới rút gọn.

Phải nhớ — Hàm hợp đọc từ trong ra ngoài, và miền của nó luôn gồm hai điều kiện. Hàm ngược thì ngược lại: công thức là phần dễ, miền mới là phần ăn điểm — và miền của $f^{-1}$ phải chép từ $f$, không đọc từ công thức vừa tìm được.

Đọc xong rồi — làm thử ngay

Bài tập của chương Functions gồm 14 câu trắc nghiệm và 6 đề tự luận, ra khó hơn đề thật 30–50%. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.

Làm bài tập chương →

← Bài trướcThe binomial theorem, counting and rational indices Bài sau →Quadratic functions, the discriminant and restricted ranges