Mục lục bài họcĐang ở d03-b2
The unit circle, identities and trigonometric equations
The unit circle
For a point on the unit circle at angle $\theta$ measured anticlockwise from the positive $x$-axis, the coordinates are $(\cos\theta,\sin\theta)$. Everything else follows from that one picture:
$$\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1,\qquad \tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$$The signs in each quadrant, the exact values at $\dfrac{\pi}{6},\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{3}$, and the symmetry relations $\sin(\pi-\theta)=\sin\theta$ and $\cos(2\pi-\theta)=\cos\theta$ are all read off the circle rather than memorised separately.
Double angle formulae
$$\sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta,\qquad \cos 2\theta=\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta=2\cos^{2}\theta-1=1-2\sin^{2}\theta$$The three forms of $\cos 2\theta$ exist so that you can choose the one containing only the function that already appears in your equation.
Solving trigonometric equations
A trigonometric equation over an interval has a fixed procedure:
- reduce to a single trigonometric function, using an identity if necessary;
- factorise rather than divide — dividing by $\cos x$ destroys every solution with $\cos x=0$;
- if the argument is $2x$ or $x-\alpha$, transform the interval first and solve over the new interval;
- list every solution the symmetry of the circle produces, then translate back.
Đường tròn đơn vị là bản gốc, mọi thứ khác là hệ quả. Điểm ứng với góc $\theta$ có toạ độ $(\cos\theta,\sin\theta)$. Từ đó suy ra ngay dấu của từng hàm ở từng góc phần tư, các giá trị chính xác tại $\dfrac{\pi}{6},\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{3}$, và hai hệ thức đối xứng dùng nhiều nhất:
$$\sin\left(\pi-\theta\right)=\sin\theta,\qquad \cos\left(2\pi-\theta\right)=\cos\theta$$Cùng với $\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$ và $\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$, đó là toàn bộ hành trang cần cho Paper 1.
Công thức góc nhân đôi. $\sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta$ và $\cos 2\theta$ có ba dạng: $\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta$, $2\cos^{2}\theta-1$, $1-2\sin^{2}\theta$. Ba dạng tồn tại để bạn chọn dạng chỉ chứa đúng hàm đang có trong phương trình — chọn đúng dạng là biến một phương trình lượng giác thành một phương trình bậc hai quen thuộc.
Quy trình giải phương trình trên một khoảng.
- đưa về một hàm lượng giác duy nhất, dùng hằng đẳng thức nếu cần;
- đặt nhân tử chung, đừng chia: chia hai vế cho $\cos x$ là xoá sổ mọi nghiệm có $\cos x=0$, và những nghiệm ấy biến mất không để lại dấu vết;
- nếu đối số là $2x$ hay $x-\alpha$ thì biến đổi khoảng trước, giải trên khoảng mới, rồi mới quy về $x$;
- liệt kê đủ mọi nghiệm mà tính đối xứng của đường tròn sinh ra.
Bước thứ ba là bước ăn điểm nhiều nhất: phương trình theo $2x$ trên $0\le x<2\pi$ thực chất là phương trình trên $0\le 2x<4\pi$, và số nghiệm thường gấp đôi so với trực giác.
Giải phương trình $2\cos^{2}x+\sin x=2$ với $0\le x\le 2\pi$.
Đưa về một hàm duy nhất. Vế trái có cả $\cos^{2}$ lẫn $\sin$; thay $\cos^{2}x=1-\sin^{2}x$ để chỉ còn $\sin$:
$$2\left(1-\sin^{2}x\right)+\sin x=2\;\Longrightarrow\;2-2\sin^{2}x+\sin x=2$$$$\sin x-2\sin^{2}x=0\;\Longrightarrow\;\sin x\left(1-2\sin x\right)=0$$Đặt nhân tử chung, không chia cho $\sin x$. Hai nhánh:
$$\sin x=0\;\Longrightarrow\;x=0,\ \pi,\ 2\pi$$$$\sin x=\frac12\;\Longrightarrow\;x=\frac{\pi}{6},\ \frac{5\pi}{6}$$Có năm nghiệm: $0,\ \dfrac{\pi}{6},\ \dfrac{5\pi}{6},\ \pi,\ 2\pi$.
Hai chỗ dễ mất nghiệm. Thứ nhất, chia hai vế cho $\sin x$ ở dòng thứ ba sẽ mất luôn ba nghiệm $0,\pi,2\pi$. Thứ hai, đề cho khoảng đóng $0\le x\le 2\pi$ nên cả $x=0$ lẫn $x=2\pi$ đều được tính; nếu đề viết $0\le x<2\pi$ thì chỉ còn bốn nghiệm.
Giải phương trình $\sin 2x=\cos x$ với $0\le x<2\pi$.
Khai triển góc nhân đôi để hai vế cùng bậc.
$$2\sin x\cos x=\cos x\;\Longrightarrow\;2\sin x\cos x-\cos x=0\;\Longrightarrow\;\cos x\left(2\sin x-1\right)=0$$Hai nhánh.
$$\cos x=0\;\Longrightarrow\;x=\frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}$$$$\sin x=\frac12\;\Longrightarrow\;x=\frac{\pi}{6},\ \frac{5\pi}{6}$$Bốn nghiệm: $\dfrac{\pi}{6},\ \dfrac{\pi}{2},\ \dfrac{5\pi}{6},\ \dfrac{3\pi}{2}$.
Vì sao không được chia cho $\cos x$. Nếu chia, phương trình thành $2\sin x=1$ và chỉ còn hai nghiệm — hai nghiệm $\dfrac{\pi}{2}$ và $\dfrac{3\pi}{2}$ biến mất. Chúng biến mất vì phép chia chỉ hợp lệ khi $\cos x\neq 0$, mà đó lại đúng là các giá trị làm hai vế cùng bằng $0$. Phép chia không báo lỗi, không để lại dấu vết, và đáp số còn lại vẫn đúng — chỉ là thiếu một nửa.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Geometry and Trigonometry gồm 14 câu trắc nghiệm và 6 đề tự luận, ra khó hơn đề thật 30–50%. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.