Mục lục bài họcĐang ở d04-b3
The binomial and normal distributions
The binomial distribution
$X\sim B(n,p)$ models the number of successes in $n$ trials that are independent, have only two outcomes, and share a constant $p$:
$$P(X=r)=\binom{n}{r}p^{\,r}(1-p)^{\,n-r},\qquad \text{E}(X)=np,\qquad \text{Var}(X)=np(1-p)$$Sampling without replacement from a small population breaks the constant-$p$ condition, so a binomial model is not valid there.
The normal distribution
$X\sim N\!\left(\mu,\sigma^{2}\right)$ is continuous and symmetric about $\mu$. Standardising gives
$$Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)$$Because the distribution is continuous, $P(X=k)=0$ for every $k$, so $P(X>k)$ and $P(X\ge k)$ are equal — unlike in the binomial case.
Inverse normal, and finding an unknown parameter
If $P(X
The probabilities themselves never appear in those equations — only the $z$-values read from them.
Phân phối nhị thức. $X\sim B(n,p)$ đếm số lần thành công trong $n$ phép thử độc lập, mỗi phép thử chỉ có hai kết cục và $p$ không đổi:
$$P(X=r)=\binom{n}{r}p^{\,r}(1-p)^{\,n-r},\qquad \text{E}(X)=np,\qquad \text{Var}(X)=np(1-p)$$Độ lệch chuẩn là $\sqrt{np(1-p)}$ — nhớ khai căn, vì công thức trong booklet ghi phương sai. Điều kiện “$p$ không đổi” bị phá ngay khi lấy mẫu không hoàn lại từ một tổng thể nhỏ, và IB rất hay hỏi thẳng “mô hình nhị thức có phù hợp không”.
Phân phối chuẩn. $X\sim N\!\left(\mu,\sigma^{2}\right)$ liên tục và đối xứng qua $\mu$. Chuẩn hoá:
$$Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)$$Chia cho $\sigma$, không chia cho $\sigma^{2}$. Vì phân phối liên tục nên $P(X=k)=0$ với mọi $k$, do đó $P(X>k)$ và $P(X\ge k)$ bằng nhau — khác hẳn nhị thức, nơi hai dấu ấy lệch nhau đúng một số hạng.
Chuẩn ngược và bài toán tìm tham số. Biết $P(X
Điểm quan trọng nhất của cả mục: bản thân các xác suất không bao giờ xuất hiện trong hai phương trình ấy — chỉ có các giá trị $z$ đọc ra từ chúng. Viết $\dfrac{x_1-\mu}{\sigma}=0{,}2$ thay vì $=-0{,}8416$ là hỏng cả bài, và hệ vẫn giải ra được hai số trông rất bình thường.
Cho $X\sim B(12;\ 0{,}35)$. Tính $P(X=4)$ và $P(X\ge 3)$, rồi nêu kỳ vọng và độ lệch chuẩn của $X$.
$P(X=4)$ — dùng công thức, không dùng lệnh tích luỹ.
$$P(X=4)=\binom{12}{4}(0{,}35)^{4}(0{,}65)^{8}=495\times 0{,}01500625\times 0{,}0318644=0{,}237$$$P(X\ge 3)$ — đổi sang biến cố bù. Máy tính chỉ cho tổng từ $0$ trở đi, nên
$$P(X\ge 3)=1-P(X\le 2)$$$$P(0)=0{,}00569,\quad P(1)=0{,}03675,\quad P(2)=0{,}10885\;\Longrightarrow\;P(X\le 2)=0{,}15128$$$$P(X\ge 3)=1-0{,}15128=0{,}849$$Kỳ vọng và độ lệch chuẩn.
$$\text{E}(X)=np=12\times 0{,}35=4{,}2$$$$\sigma=\sqrt{np(1-p)}=\sqrt{12\times 0{,}35\times 0{,}65}=\sqrt{2{,}73}=1{,}65$$Chỗ dễ trượt là chuyển $\ge$ thành biến cố bù: $P(X\ge 3)=1-P(X\le 2)$, không phải $1-P(X\le 3)$. Vì biến rời rạc nên $X\ge 3$ và $X\le 2$ mới ghép kín; lấy nhầm cận là trừ đi cả $P(X=3)=0{,}195$, một sai lệch rất lớn.
Biến ngẫu nhiên $Y$ có phân phối chuẩn với $P(Y<50)=0{,}2$ và $P(Y<70)=0{,}9$. Tìm $\mu$ và $\sigma$.
Đổi hai xác suất thành hai giá trị $z$ trước khi làm bất cứ điều gì khác.
$$P(ZHai phương trình bậc nhất.
$$50=\mu-0{,}8416\sigma\qquad(1)$$$$70=\mu+1{,}2816\sigma\qquad(2)$$Lấy $(2)-(1)$ để khử $\mu$:
$$20=2{,}1232\sigma\;\Longrightarrow\;\sigma=9{,}42$$$$\mu=50+0{,}8416\times 9{,}42=57{,}9$$Kiểm ngược. $57{,}9+1{,}2816\times 9{,}42=70{,}0$ — khớp với dữ kiện thứ hai, tức không có lỗi số học nào.
Kiểm hợp lý: $\mu=57{,}9$ nằm giữa $50$ và $70$ nhưng lệch về phía $50$, đúng như phải thế vì $50$ chỉ cách $\mu$ có $0{,}84\sigma$ trong khi $70$ cách tới $1{,}28\sigma$.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Statistics and Probability gồm 14 câu trắc nghiệm và 6 đề tự luận, ra khó hơn đề thật 30–50%. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.