Mục lục bài họcĐang ở d04-b1
Descriptive statistics, outliers and linear transformations
Measures of centre and spread
The mean uses every value and is pulled by extreme ones; the median is the middle value and is not. For a frequency table, $\bar{x}=\dfrac{\sum fx}{\sum f}$, and the variance is
$$\sigma^{2}=\frac{\sum f\left(x-\bar{x}\right)^{2}}{\sum f}=\frac{\sum fx^{2}}{\sum f}-\bar{x}^{2}$$Quartiles, interquartile range and outliers
$\text{IQR}=Q_3-Q_1$. A value is treated as an outlier when it is more than $1.5\times\text{IQR}$ beyond $Q_1$ or $Q_3$:
$$xOn a box plot the whiskers stop at the most extreme values that are not outliers; outliers are plotted individually.
Linear transformations
If $y=ax+b$ then
$$\bar{y}=a\bar{x}+b,\qquad \sigma_y=|a|\,\sigma_x,\qquad \sigma_y^{2}=a^{2}\sigma_x^{2}$$The constant $b$ shifts the centre but leaves every measure of spread unchanged.
Grouped data
With grouped data the individual values are lost, so the mean is estimated using the class midpoints, and the median is estimated by linear interpolation inside the class that contains the middle value.
Trung bình và trung vị nói hai chuyện khác nhau. Trung bình dùng mọi giá trị nên bị các quan sát cực trị kéo đi; trung vị chỉ quan tâm vị trí giữa nên đứng yên. Với bảng tần số, $\bar{x}=\dfrac{\sum fx}{\sum f}$ — mẫu số là tổng tần số, không phải số dòng của bảng.
$$\sigma^{2}=\frac{\sum fx^{2}}{\sum f}-\bar{x}^{2}$$Tứ phân vị và ngoại lai. $\text{IQR}=Q_3-Q_1$. Một giá trị được coi là ngoại lai khi nó cách $Q_1$ hoặc $Q_3$ hơn $1{,}5\times\text{IQR}$. Trên biểu đồ hộp, râu dừng ở giá trị cực trị không phải ngoại lai; các ngoại lai được vẽ riêng bằng dấu chấm hoặc dấu chéo. Vì vậy đầu râu không nhất thiết là giá trị lớn nhất của dữ liệu — đọc nhầm chỗ này là hiểu sai cả bộ số.
Phép biến đổi tuyến tính. Nếu $y=ax+b$ thì $\bar{y}=a\bar{x}+b$, $\sigma_y=|a|\,\sigma_x$ và $\sigma_y^{2}=a^{2}\sigma_x^{2}$. Hằng số $b$ không ảnh hưởng tới bất kỳ thước đo độ phân tán nào: cộng thêm $b$ là dời cả đám số đi cùng một quãng, khoảng cách giữa chúng không đổi. Đây là chỗ mà mọi thước đo tâm và mọi thước đo phân tán hành xử khác nhau, và đề IB hỏi rất đều.
Dữ liệu ghép nhóm. Khi đã ghép nhóm thì giá trị gốc mất, nên trung bình chỉ ước lượng được bằng cách dùng giá trị giữa của mỗi lớp, còn trung vị ước lượng bằng nội suy tuyến tính trong lớp chứa quan sát thứ $\dfrac{n}{2}$. Đáp số vì thế là ước lượng, và đề luôn dùng chữ “estimate” để báo điều đó.
Bảng dưới ghi số lần đi trễ trong một tháng của $30$ học sinh.
| Số lần trễ $x$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ |
|---|---|---|---|---|---|
| Số học sinh $f$ | $5$ | $8$ | $10$ | $4$ | $3$ |
Tìm trung bình, trung vị và độ lệch chuẩn.
Trung bình. $\sum f=30$ và
$$\sum fx=0(5)+1(8)+2(10)+3(4)+4(3)=0+8+20+12+12=52$$$$\bar{x}=\frac{52}{30}=1{,}733$$Trung vị. Với $n=30$, trung vị là trung bình của quan sát thứ $15$ và thứ $16$. Tần số tích luỹ: $5,\ 13,\ 23,\ 27,\ 30$. Quan sát thứ $15$ và thứ $16$ đều rơi vào nhóm $x=2$ (nhóm này trải từ quan sát thứ $14$ tới thứ $23$), nên trung vị là $2$.
Độ lệch chuẩn.
$$\sum fx^{2}=0+8+40+36+48=132$$$$\sigma^{2}=\frac{132}{30}-\left(1{,}733\right)^{2}=4{,}4-3{,}004=1{,}396\;\Longrightarrow\;\sigma=1{,}18$$Kiểm hợp lý: dữ liệu chạy từ $0$ tới $4$, nên độ lệch chuẩn phải nhỏ hơn nửa biên độ ($2$). Nếu bấm ra $4{,}4$ thì đó là $\dfrac{\sum fx^{2}}{\sum f}$ — quên trừ $\bar{x}^{2}$.
Một bộ số liệu có $Q_1=34$, trung vị $46$, $Q_3=58$, giá trị nhỏ nhất $12$ và giá trị lớn nhất $108$. Xác định các ngoại lai. Sau đó mỗi giá trị được đổi theo $y=2x+5$; nêu $Q_1$, $Q_3$, $\text{IQR}$ mới và cho biết tình trạng ngoại lai có đổi không.
Ngưỡng ngoại lai. $\text{IQR}=58-34=24$ nên $1{,}5\times\text{IQR}=36$:
$$\text{ngưỡng dưới}=34-36=-2,\qquad \text{ngưỡng trên}=58+36=94$$Giá trị $12$ lớn hơn $-2$ nên không phải ngoại lai; giá trị $108$ lớn hơn $94$ nên là ngoại lai.
Sau phép biến đổi $y=2x+5$. Phép biến đổi tăng dần nên nó giữ nguyên thứ tự, do đó tứ phân vị mới là ảnh của tứ phân vị cũ:
$$Q_1'=2(34)+5=73,\qquad Q_3'=2(58)+5=121,\qquad \text{IQR}'=121-73=48$$Chú ý $\text{IQR}'=2\times 24=48$: hệ số $2$ nhân vào, còn $+5$ không ảnh hưởng.
Ngoại lai có đổi không? Ngưỡng trên mới là $121+1{,}5(48)=193$, và giá trị lớn nhất mới là $2(108)+5=221>193$. Vẫn là ngoại lai.
Điều này không phải trùng hợp: phép biến đổi tuyến tính nhân mọi khoảng cách với cùng một hệ số $|a|$, nên tỉ số “khoảng cách tới $Q_3$ chia cho $\text{IQR}$” không đổi. Ngoại lai vẫn là ngoại lai, và giá trị bình thường vẫn bình thường.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Statistics and Probability gồm 14 câu trắc nghiệm và 6 đề tự luận, ra khó hơn đề thật 30–50%. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.