Mục lục bài họcĐang ở d01-b2
Exponents, logarithms and exponential equations
The laws of exponents and logarithms
For $a>0$, $a\neq 1$, the statement $\log_a x=y$ means exactly $a^{y}=x$. Since $a^{y}>0$ for every real $y$, the domain of $\log_a$ is $x>0$.
$$\log_a(xy)=\log_ax+\log_ay,\qquad \log_a\!\left(\frac{x}{y}\right)=\log_ax-\log_ay,\qquad \log_a\left(x^{m}\right)=m\log_ax$$Three special values follow directly from the definition: $\log_a1=0$, $\log_aa=1$, and $\log_a\left(a^{k}\right)=k$.
Change of base
$$\log_ax=\frac{\log_bx}{\log_ba}\qquad\text{hence}\qquad \log_ab=\frac{1}{\log_ba}$$Solving exponential equations
If the two sides cannot be written with the same base, take logarithms of both sides and use the power law to bring the unknown down from the exponent:
$$a^{f(x)}=b^{g(x)}\;\Longrightarrow\;f(x)\ln a=g(x)\ln b$$An equation of the form $a^{2x}+pa^{x}+q=0$ is a disguised quadratic: put $t=a^{x}$ with $t>0$, solve for $t$, then return to $x$. Any root $t\le 0$ must be discarded, because $a^{x}$ is never zero or negative.
Định nghĩa là thứ phải nhớ, luật chỉ là hệ quả. $\log_ax=y$ nghĩa là $a^{y}=x$. Vì $a^{y}$ luôn dương nên miền xác định của lôgarit là $x>0$ — mọi nghiệm làm cho một biểu thức dưới dấu $\log$ trở thành số không dương đều phải loại, dù nó thoả phương trình đã biến đổi.
$$\log_a(xy)=\log_ax+\log_ay,\qquad \log_a\!\left(\frac{x}{y}\right)=\log_ax-\log_ay,\qquad \log_a\left(x^{m}\right)=m\log_ax$$Ba giá trị đặc biệt suy thẳng từ định nghĩa: $\log_a1=0$, $\log_aa=1$, $\log_a\left(a^{k}\right)=k$. Riêng $\log_a\sqrt{a}=\dfrac12$ bị bỏ sót thường xuyên, vì mắt đọc $\sqrt{a}$ như một ký hiệu chứ không như $a^{1/2}$.
Đổi cơ số. $\log_ax=\dfrac{\log_bx}{\log_ba}$, và hệ quả rất hay dùng là $\log_ab=\dfrac{1}{\log_ba}$ — nghịch đảo, không phải đổi dấu.
Giải phương trình mũ. Không đưa được về cùng cơ số thì lấy $\ln$ hai vế: $a^{f(x)}=b^{g(x)}$ cho $f(x)\ln a=g(x)\ln b$. Sau đó gom hết $x$ về một vế — đây là phương trình bậc nhất theo $x$ với hệ số là các số $\ln$, không có gì đặc biệt.
Dạng $a^{2x}+pa^{x}+q=0$ là phương trình bậc hai trá hình: đặt $t=a^{x}$, kèm ngay điều kiện $t>0$. Giải xong phải quay về $x$ — dừng ở $t$ là mất trọn điểm, và đó cũng là phương án nhiễu được cài sẵn trong đề trắc nghiệm.
Giải phương trình $\log_2x+\log_2(x-2)=3$.
Bước 0 — ghi điều kiện trước khi biến đổi. Cần $x>0$ và $x-2>0$, tức $x>2$. Viết dòng này ngay từ đầu là cách duy nhất chắc chắn không quên.
Bước 1 — gộp lôgarit rồi bỏ $\log$.
$$\log_2\left(x(x-2)\right)=3\;\Longrightarrow\;x(x-2)=2^{3}=8$$$$x^{2}-2x-8=0\;\Longrightarrow\;(x-4)(x+2)=0\;\Longrightarrow\;x=4\ \text{hoặc}\ x=-2$$Bước 2 — đối chiếu điều kiện. $x=-2$ không thoả $x>2$ nên bị loại. Nghiệm duy nhất là $x=4$.
Chỗ đáng hiểu chứ không chỉ đáng nhớ: $x=-2$ thật sự thoả $x(x-2)=8$, nhưng nó không thoả phương trình gốc vì $\log_2(-2)$ không tồn tại. Phép gộp đã nới miền xác định, và nghiệm thừa sinh ra từ chính bước nới đó.
Giải phương trình $3^{2x+1}=5^{\,x-2}$, cho đáp số ở dạng chính xác theo $\ln$ rồi làm tròn tới ba chữ số thập phân.
Lấy $\ln$ hai vế và hạ mũ xuống.
$$(2x+1)\ln 3=(x-2)\ln 5$$$$2x\ln 3+\ln 3=x\ln 5-2\ln 5$$Gom $x$ về một vế.
$$x\left(2\ln 3-\ln 5\right)=-\ln 3-2\ln 5$$$$x=\frac{-\left(\ln 3+2\ln 5\right)}{2\ln 3-\ln 5}=\frac{-\ln 75}{\ln\left(\frac95\right)}\approx -7.345$$Thử lại bằng độ lớn. Với $x\approx-7.345$ thì $2x+1\approx-13.69$ nên vế trái $3^{-13.69}\approx 2.9\times10^{-7}$; vế phải $5^{-9.345}\approx 2.9\times10^{-7}$. Hai vế khớp.
Hai chỗ hay hỏng: quên nhân $\ln 3$ vào cả $2x$ lẫn $1$, và đổi dấu sai khi chuyển $-2\ln 5$ qua vế kia. Cả hai đều cho ra một con số trông rất bình thường, nên phép thử độ lớn ở trên là lưới an toàn duy nhất.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Number and Algebra gồm 14 câu trắc nghiệm và 6 đề tự luận, ra khó hơn đề thật 30–50%. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.