Mục lục bài họcĐang ở d05-b3
Kinematics and differential equations: Euler's method
The kinematic chain
Differentiating takes displacement to velocity and velocity to acceleration; integrating goes back the other way.
$$s(t)\ \xrightarrow{\ \frac{d}{dt}\ }\ v(t)\ \xrightarrow{\ \frac{d}{dt}\ }\ a(t)$$Two questions that sound alike have different answers. Displacement over $[a,b]$ is $\displaystyle\int_{a}^{b}v\,dt$, a signed quantity. Distance travelled is $\displaystyle\int_{a}^{b}|v|\,dt$, which requires splitting the interval at every $t$ where $v=0$.
Differential equations by separation
$\dfrac{dy}{dx}=ky$ has solution $y=Ae^{kx}$: growth if $k>0$, decay if $k<0$. Newton's law of cooling, $\dfrac{dT}{dt}=-k(T-T_{r})$, has solution $T=T_{r}+Ae^{-kt}$, so the temperature approaches room temperature but never reaches it.
Euler's method
$$y_{n+1}=y_{n}+h\,f(x_{n},y_{n}),\qquad x_{n+1}=x_{n}+h$$Each step follows the tangent line at the current point instead of the true curve. For a solution that is concave up, every tangent lies below the curve, so Euler underestimates, and the errors accumulate. Halving the step roughly halves the final error — the method is first order, so it is far less accurate than the trapezoidal rule.
Euler is worth its place because it works on equations that have no closed-form solution at all, and because it can be run on a spreadsheet.
Chuỗi động học. Đạo hàm đi từ quãng đường tới vận tốc rồi tới gia tốc; tích phân đi ngược lại:
$$s(t)\ \xrightarrow{\ \frac{d}{dt}\ }\ v(t)\ \xrightarrow{\ \frac{d}{dt}\ }\ a(t)$$Hai câu hỏi nghe giống nhau nhưng cho hai đáp số khác nhau. Độ dời trên $[a,b]$ là $\displaystyle\int_{a}^{b}v\,dt$, một đại lượng có dấu — nó cho biết vật cách chỗ xuất phát bao xa và về phía nào. Quãng đường đi được là $\displaystyle\int_{a}^{b}|v|\,dt$, và muốn tính nó thì bắt buộc phải chia đoạn tại mọi $t$ mà $v=0$, rồi cộng độ lớn của từng phần.
Quy trình an toàn: giải $v=0$ trước tiên, dù đề chưa hỏi tới. Nếu $v$ không đổi dấu trên khoảng đang xét thì hai đáp số trùng nhau và không mất gì; nếu có đổi dấu thì bước ấy vừa cứu cả bài.
Phương trình vi phân tách biến. $\dfrac{dy}{dx}=ky$ có nghiệm $y=Ae^{kx}$: tăng trưởng khi $k>0$, phân rã khi $k<0$. Định luật nguội của Newton, $\dfrac{dT}{dt}=-k(T-T_{r})$ với $T_r$ là nhiệt độ phòng, có nghiệm $T=T_{r}+Ae^{-kt}$; nhiệt độ tiến dần tới nhiệt độ phòng nhưng không bao giờ đạt tới. Hệ quả hay được hỏi: tốc độ nguội tỉ lệ với chênh lệch nhiệt độ, nên vật càng gần nhiệt độ phòng thì nguội càng chậm.
Phương pháp Euler.
$$y_{n+1}=y_{n}+h\,f(x_{n},y_{n}),\qquad x_{n+1}=x_{n}+h$$Mỗi bước đi theo đường tiếp tuyến tại điểm hiện tại thay vì theo đường cong thật. Với nghiệm lõm lên, mọi tiếp tuyến nằm dưới đường cong nên Euler cho kết quả thiếu, và sai số cộng dồn qua từng bước chứ không tự triệt tiêu.
Giảm $h$ đi một nửa thì sai số cuối cùng cũng giảm khoảng một nửa — đây là phương pháp bậc một, kém chính xác hơn hẳn quy tắc hình thang (bậc hai, giảm bốn lần). Đổi lại, Euler chạy được trên những phương trình không có nghiệm dạng đóng, và lập được bằng một bảng tính; đó là lý do nó nằm trong chương trình của AI chứ không của AA.
Một vật chuyển động thẳng với vận tốc $v(t)=3t^{2}-12t+9$ m/s, $0\le t\le 4$.
Tìm độ dời và quãng đường đi được trong $4$ giây đầu, và cho biết vật đổi chiều ở những thời điểm nào.
Bước 1 — tìm mọi thời điểm đổi chiều. Làm bước này trước, kể cả khi đề chưa hỏi.
$$3t^{2}-12t+9=3(t^{2}-4t+3)=3(t-1)(t-3)=0\;\Longrightarrow\;t=1,\ t=3$$Xét dấu: $v(0)=9>0$, $v(2)=-3<0$, $v(4)=9>0$. Vật đi tới trên $[0,1]$, lùi lại trên $[1,3]$, rồi lại đi tới trên $[3,4]$.
Bước 2 — độ dời. Nguyên hàm là $s(t)=t^{3}-6t^{2}+9t$:
$$\int_{0}^{4}v\,dt=s(4)-s(0)=(64-96+36)-0=4\ \text{m}$$Bước 3 — quãng đường. Chia tại $t=1$ và $t=3$ rồi cộng độ lớn:
$$|s(1)-s(0)|=|4-0|=4,\quad |s(3)-s(1)|=|0-4|=4,\quad |s(4)-s(3)|=|4-0|=4$$$$\text{quãng đường}=4+4+4=12\ \text{m}$$Vì sao bẫy này nguy hiểm hơn bình thường ở bài cụ thể này: ba phần bằng nhau đúng $4$ m, nên ai chỉ tính $\int_{0}^{4}v\,dt=4$ rồi ghi “quãng đường $=4$ m” sẽ có một con số đúng — nhưng đúng cho câu hỏi khác. Không phép kiểm nào về độ lớn phát hiện ra, chỉ có việc đọc kỹ đề.
Ghi chú về $t=2$. Tại đó $v=-3$ m/s đạt cực tiểu và gia tốc $a(2)=6(2)-12=0$. Vật không dừng ở $t=2$ — nó đang lùi nhanh nhất. Gia tốc bằng không nghĩa là vận tốc tạm thời không đổi, không có nghĩa là vật đứng yên; đây là chỗ hai khái niệm hay bị trộn.
Cho $\dfrac{dy}{dx}=x+y$ với $y(0)=1$. Dùng phương pháp Euler với $h=0{,}2$ để ước lượng $y(1)$. Nghiệm chính xác là $y=2e^{x}-x-1$; so sánh và giải thích chiều của sai số.
Bước 1 — lập bảng. Công thức lặp là $y_{n+1}=y_{n}+0{,}2(x_{n}+y_{n})$.
| $x_n$ | $0$ | $0{,}2$ | $0{,}4$ | $0{,}6$ | $0{,}8$ | $1{,}0$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $y_n$ | $1$ | $1{,}2$ | $1{,}48$ | $1{,}856$ | $2{,}3472$ | $2{,}9766$ |
Bước đầu tiên làm mẫu: $y_{1}=1+0{,}2(0+1)=1{,}2$; bước thứ hai $y_{2}=1{,}2+0{,}2(0{,}2+1{,}2)=1{,}48$.
$$y(1)\approx 2{,}977$$Bước 2 — so với nghiệm chính xác.
$$y(1)=2e^{1}-1-1=2(2{,}71828)-2=3{,}437$$$$\text{sai số}=3{,}437-2{,}977=0{,}460,\qquad \frac{0{,}460}{3{,}437}=13{,}4\%$$Bước 3 — giải thích chiều của sai số. Ước lượng thiếu, và có lý do hình học rõ ràng. Nghiệm $y=2e^{x}-x-1$ có đạo hàm cấp hai bằng $2e^{x}>0$ với mọi $x$, tức đường cong lõm lên; mà mọi tiếp tuyến của một đường lõm lên đều nằm dưới đường cong. Euler đi theo tiếp tuyến ở mỗi bước nên luôn tụt lại, và độ tụt cộng dồn qua năm bước.
Bước 4 — vai trò của $h$. Với $h=0{,}1$ (mười bước), Euler cho $y(1)\approx 3{,}187$ và sai số còn $0{,}249$ — giảm gần đúng một nửa khi $h$ giảm một nửa. Đó là dấu hiệu của phương pháp bậc một. Để so sánh: quy tắc hình thang là bậc hai, giảm $h$ một nửa thì sai số giảm bốn lần.
Nhận xét thực dụng: sai số $13\%$ là rất lớn với một bài toán có nghiệm đóng. Giá trị của Euler không nằm ở độ chính xác mà ở chỗ nó chạy được trên những phương trình không giải được bằng công thức, và lập được bằng một bảng tính trong vài phút.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Calculus gồm 14 câu trắc nghiệm và 6 đề tự luận. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.