Mục lục bài họcĐang ở d02-b3
Sinusoidal and logistic models
Sinusoidal models
$$f(t)=a\sin\bigl(b(t-c)\bigr)+d\quad\text{or}\quadf(t)=a\cos\bigl(b(t-c)\bigr)+d$$Read the four constants straight from the context:
$$a=\frac{\max-\min}{2},\qquad d=\frac{\max+\min}{2},\qquad b=\frac{2\pi}{\text{period}}$$and $c$ is a horizontal shift chosen so that the maximum (for $\cos$) or the midline crossing going up (for $\sin$) lands where the data says it does. Set the GDC to radians unless the question is in degrees, in which case $b=\dfrac{360}{\text{period}}$.
Logistic models
$$N(t)=\frac{L}{1+Ce^{-kt}}$$$L$ is the carrying capacity: the horizontal asymptote the population or the number of adopters cannot exceed. At $t=0$, $N(0)=\dfrac{L}{1+C}$, so $C$ is fixed by the starting value. The curve is S-shaped, with its steepest point at $N=\tfrac{L}{2}$, reached when $t=\dfrac{\ln C}{k}$.
Early on, $Ce^{-kt}\gg1$ and the logistic curve is almost indistinguishable from pure exponential growth. That is exactly why unconstrained exponential forecasts are dangerous: they are right at first and catastrophically wrong later.
Mô hình hình sin.
$$f(t)=a\sin\bigl(b(t-c)\bigr)+d\quad\text{hoặc}\quadf(t)=a\cos\bigl(b(t-c)\bigr)+d$$Bốn hằng số đọc thẳng ra từ bối cảnh:
$$a=\frac{\max-\min}{2},\qquad d=\frac{\max+\min}{2},\qquad b=\frac{2\pi}{\text{chu kỳ}}$$còn $c$ là độ dịch ngang, chọn sao cho cực đại (với $\cos$) hoặc điểm cắt đường giữa theo chiều đi lên (với $\sin$) rơi đúng chỗ số liệu chỉ ra. Biên độ là nửa khoảng dao động chứ không phải cả khoảng — đây là lỗi đơn giản nhất và cũng phổ biến nhất của mảng này. Nhớ đặt máy tính ở chế độ radian, trừ khi đề dùng độ, lúc đó $b=\dfrac{360}{\text{chu kỳ}}$.
Mô hình logistic.
$$N(t)=\frac{L}{1+Ce^{-kt}}$$$L$ là sức chứa (carrying capacity): tiệm cận ngang mà quần thể hay số người dùng không vượt qua được. Tại $t=0$ ta có $N(0)=\dfrac{L}{1+C}$, nên $C$ do giá trị ban đầu quyết định. Đường cong hình chữ S, dốc nhất tại $N=\tfrac{L}{2}$, và mốc ấy rơi vào $t=\dfrac{\ln C}{k}$.
Ở giai đoạn đầu, $Ce^{-kt}\gg1$ nên logistic gần như trùng khít với tăng trưởng mũ thuần tuý. Đó chính là lý do các dự báo mũ không giới hạn rất nguy hiểm: chúng đúng lúc đầu rồi sai thảm hại về sau, và người dự báo không có tín hiệu nào trong dữ liệu ban đầu để biết mình sắp sai. Câu hỏi “comment on the suitability of an exponential model” của IB đang chờ đúng nhận xét này.
Điểm cần đọc ra: các chấm số liệu thật lệch khỏi đường cong nhiều nhất ở hai tháng chuyển mùa (tháng $3$ và tháng $9$), nơi thực tế đổi nhiệt nhanh hơn một hàm sin trơn tru. Đó chính là câu trả lời cho phần “comment on the fit”: mô hình hình sin bắt rất tốt phần lặp lại hằng năm nhưng làm mượt quá mức các đợt chuyển mùa, nên dùng để ước lượng trung bình thì tốt, dùng để dự báo một tháng cụ thể thì có thể lệch trên một độ.
Nhiệt độ trung bình tháng của một thành phố cao nhất là $29{,}5$ °C vào tháng $7$ và thấp nhất là $17{,}0$ °C vào tháng $1$. Gọi $t$ là số thứ tự tháng, $t=1$ ứng với tháng $1$.
(a) Lập mô hình hình sin cho nhiệt độ. (b) Tìm các tháng có nhiệt độ trung bình vượt $27$ °C.
(a) Bốn hằng số:
$$a=\frac{29{,}5-17{,}0}{2}=6{,}25,\qquad d=\frac{29{,}5+17{,}0}{2}=23{,}25,\qquad b=\frac{2\pi}{12}=\frac{\pi}{6}$$Cực tiểu rơi vào $t=1$. Hàm $-\cos$ đạt cực tiểu tại đối số bằng $0$, nên chọn $c=1$:
$$T(t)=23{,}25-6{,}25\cos\!\left(\frac{\pi(t-1)}{6}\right)$$Kiểm: $T(1)=23{,}25-6{,}25=17{,}0$ và $T(7)=23{,}25+6{,}25=29{,}5$, khớp cả hai mốc.
(b) Giải $T(t)>27$:
$$23{,}25-6{,}25\cos\theta>27\;\Rightarrow\;\cos\theta<-0{,}600,\qquad \theta=\frac{\pi(t-1)}{6}$$$$2{,}2143<\theta<4{,}0689\;\Rightarrow\;4{,}229Bình luận. Mô hình dự đoán tháng $4$ là $T(4)=23{,}25$ °C. Nếu số liệu thật của tháng $4$ là $24{,}0$ °C thì sai số phần trăm là $3{,}1\%$ — chấp nhận được cho một mô hình chỉ dùng hai điểm dữ liệu, nhưng đủ lớn để không nên dùng nó thay cho số liệu thật khi có sẵn.
Số người dùng một ứng dụng, tính bằng nghìn người, được mô hình hoá bởi $N(t)=\dfrac{4\,500}{1+74e^{-0{,}62t}}$ với $t$ là số năm từ khi ra mắt.
(a) Tìm $N(0)$ và sức chứa. (b) Tìm thời điểm số người dùng đạt một nửa sức chứa. (c) So sánh với mô hình mũ $N\approx60e^{0{,}62t}$ tại $t=3$ và $t=10$.
(a) $N(0)=\dfrac{4\,500}{1+74}=\dfrac{4\,500}{75}=60$ nghìn người. Khi $t\to\infty$ thì $e^{-0{,}62t}\to0$, nên sức chứa là $L=4\,500$ nghìn người.
(b) Đặt $N=2\,250$:
$$1+74e^{-0{,}62t}=2\;\Rightarrow\;e^{-0{,}62t}=\frac{1}{74}\;\Rightarrow\;t=\frac{\ln 74}{0{,}62}=\frac{4{,}3041}{0{,}62}=6{,}94\ \text{năm}$$(c)
| $t$ (năm) | $3$ | $10$ |
|---|---|---|
| Logistic | $359$ nghìn | $3\,911$ nghìn |
| Mũ | $385$ nghìn | $29\,565$ nghìn |
| Lệch | $+7\%$ | $+656\%$ |
Ở năm thứ ba, hai mô hình chênh nhau $7\%$ — trong sai số của bất kỳ phép đo thị trường nào, nên nhìn vào dữ liệu ba năm đầu thì không thể phân biệt được chúng. Ở năm thứ mười, mô hình mũ cho $29{,}6$ triệu người dùng, gấp gần bảy lần sức chứa $4{,}5$ triệu — một con số vô nghĩa vì thị trường không có ngần ấy người.
Kết luận đáng viết vào bài: hai mô hình trùng nhau ở đúng giai đoạn mà ta có số liệu và tách nhau ở đúng giai đoạn ta muốn dự báo. Muốn chọn giữa chúng thì không thể dựa vào độ khớp số liệu quá khứ; phải dựa vào lập luận về sức chứa — dân số, số điện thoại thông minh, số hộ gia đình.
Bẫy thứ hai: máy tính để nhầm chế độ. $\cos(0{,}5)$ trong radian là $0{,}878$; trong độ là $0{,}99996$. Cả hai đều là số hợp lệ nên máy không báo gì. Cách tự kiểm: chu kỳ tính ra phải bằng chu kỳ mà đề mô tả — $12$ tháng, $24$ giờ, $12{,}5$ giờ.
Bẫy thứ ba: lấy $L$ làm giá trị ban đầu của mô hình logistic. Trong $N=\frac{4\,500}{1+74e^{-0{,}62t}}$, số $4\,500$ là đích chứ không phải điểm xuất phát; điểm xuất phát là $\frac{4\,500}{75}=60$. Và hằng số $74$ không có đơn vị, nó chỉ mã hoá khoảng cách giữa hai con số ấy.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Functions gồm 14 câu trắc nghiệm và 6 đề tự luận, ra khó hơn đề thật 30–50%. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.