Mục lục bài họcĐang ở d03-b1
Trigonometry for surveying: bearings, the sine rule and the cosine rule
Which rule, and when
Every non-right triangle in AI is solved with one of three statements, and choosing between them is the whole skill.
$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C},\qquad c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C,\qquad \text{Area}=\frac{1}{2}ab\sin C$$The sine rule needs a matched pair — a side together with the angle opposite it. The cosine rule needs either three sides, or two sides and the angle between them. If the data you are given does not form a matched pair, the sine rule is unusable no matter how much you rearrange it.
Bearings
A bearing is measured from north, clockwise, and is always written with three digits: $052^\circ$, not $52^\circ$. The back bearing satisfies $\text{back}=\text{bearing}\pm180^\circ$, choosing the sign that keeps the result in $[0^\circ,360^\circ)$.
A bearing is never itself an angle of the triangle. It becomes one only after you subtract it from the bearing of another side at the same vertex.
The ambiguous case
Given two sides and a non-included angle, $\sin^{-1}$ on a calculator returns only the acute solution. The obtuse angle $180^\circ-\theta$ has the same sine, and in a survey context it is often the physically correct one. Always test whether the obtuse value still leaves a positive third angle.
Calculator mode
Bearings and elevations are in degrees; arc length $s=r\theta$ and sector area $A=\tfrac12 r^{2}\theta$ demand radians. Mixing them produces answers that are wrong by a factor of about $57$, and nothing on the screen warns you.
Chọn định lý nào. Mọi tam giác không vuông trong AI đều được giải bằng một trong ba câu: định lý sin $\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}$, định lý cosin $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C$, và công thức diện tích $\text{Area}=\dfrac{1}{2}ab\sin C$. Việc khó không phải nhớ ba công thức mà là chọn đúng cái nào.
Định lý sin đòi một cặp khớp: một cạnh cùng với góc đối diện nó. Định lý cosin đòi hoặc ba cạnh, hoặc hai cạnh cùng góc xen giữa. Nếu dữ kiện không tạo được một cặp khớp thì định lý sin không dùng được, biến đổi kiểu gì cũng vậy — và ngược lại, có sẵn hai cạnh với góc xen giữa mà cố nhét vào định lý sin là tự tạo ra một ẩn thừa.
Phương vị (bearing). Đo từ hướng bắc, theo chiều kim đồng hồ, luôn viết ba chữ số: $052^\circ$ chứ không phải $52^\circ$. Phương vị ngược thoả $\text{ngược}=\text{xuôi}\pm180^\circ$, chọn dấu nào để kết quả nằm trong $[0^\circ,360^\circ)$.
Điều quan trọng nhất về phương vị: bản thân nó không bao giờ là một góc của tam giác. Nó chỉ thành góc sau khi lấy hiệu với phương vị của một cạnh khác cùng xuất phát từ đỉnh đó. Đây là chỗ mất điểm nhiều nhất của cả chương.
Trường hợp nhập nhằng. Cho hai cạnh và một góc không xen giữa, phím $\sin^{-1}$ chỉ trả về nghiệm nhọn. Góc tù $180^\circ-\theta$ có cùng sin, và trong bài đo đạc thực tế nó thường mới là nghiệm đúng. Cách kiểm: thử giá trị tù xem góc thứ ba còn dương không.
Chế độ máy tính. Phương vị và góc nâng dùng độ; còn $s=r\theta$ và $A=\tfrac12 r^{2}\theta$ bắt buộc dùng radian. Trộn hai chế độ cho kết quả lệch khoảng $57$ lần, mà màn hình không báo gì cả.
Hai trạm khảo sát $A$ và $B$ nằm trên một đoạn đường thẳng chạy theo hướng đông, cách nhau $180$ m, với $B$ ở phía đông của $A$. Từ $A$, phương vị của cột phát sóng $T$ là $052^\circ$; từ $B$, phương vị của $T$ là $318^\circ$. Tính khoảng cách $BT$ và khoảng cách vuông góc từ $T$ tới đoạn đường, cho kết quả tới $3$ chữ số có nghĩa.
Bước 1 — đổi phương vị thành góc trong tam giác. Đây là bước duy nhất khó; phần còn lại là máy tính bấm.
Tại $A$, đoạn $AB$ chạy về phía đông nên có phương vị $090^\circ$. Góc $TAB$ là hiệu hai phương vị cùng xuất phát từ $A$:
$$\widehat{TAB}=90^\circ-52^\circ=38^\circ$$Tại $B$, đoạn $BA$ chạy về phía tây nên có phương vị $270^\circ$. Vậy
$$\widehat{TBA}=318^\circ-270^\circ=48^\circ,\qquad \widehat{ATB}=180^\circ-38^\circ-48^\circ=94^\circ$$Bước 2 — định lý sin. Ta có cặp khớp: cạnh $AB=180$ đối diện góc $94^\circ$.
$$\frac{BT}{\sin 38^\circ}=\frac{180}{\sin 94^\circ}\;\Longrightarrow\;BT=\frac{180\sin 38^\circ}{\sin 94^\circ}=111{,}09\ \text{m}\approx 111\ \text{m}$$Bước 3 — khoảng cách vuông góc. Hạ đường cao từ $T$ xuống $AB$. Trong tam giác vuông tạo thành ở phía $B$, cạnh huyền là $BT$ và góc tại $B$ là $48^\circ$:
$$h=BT\sin 48^\circ=111{,}09\times\sin 48^\circ=82{,}6\ \text{m}$$Kiểm chéo bằng phía $A$: trước hết $AT=\dfrac{180\sin 48^\circ}{\sin 94^\circ}=134{,}09$ m, rồi $h=AT\sin 38^\circ=82{,}6$ m. Hai đường tính độc lập cho cùng một số, nên kết quả đáng tin.
Chú ý một điều dễ bỏ qua: góc $94^\circ$ là góc tù, tức cột $T$ không nằm giữa hai trạm theo phương ngang mà lệch hẳn — nếu vẽ hình ra thấy $T$ nằm chính giữa thì hình vẽ đã sai, và mọi bước sau sẽ sai theo.
Một thửa ruộng hình tam giác có hai cạnh dài $78$ m và $95$ m, góc xen giữa hai cạnh đó bằng $63^\circ$. Tính cạnh thứ ba và diện tích thửa ruộng. Chi phí rào là $145\,000$ VND mỗi mét; tính tổng chi phí rào toàn bộ chu vi, làm tròn tới trăm nghìn VND gần nhất.
Bước 1 — nhận dạng dữ kiện. Hai cạnh và góc xen giữa: đúng khuôn của định lý cosin. Ở đây không có cặp khớp nào nên định lý sin chưa dùng được.
$$c^{2}=78^{2}+95^{2}-2(78)(95)\cos 63^{\circ}=6084+9025-14820\cos 63^{\circ}$$$$c^{2}=15109-6379{,}6=8379{,}4\;\Longrightarrow\;c=91{,}5\ \text{m}$$Bước 2 — diện tích. Cùng bộ dữ kiện ấy đưa thẳng vào công thức diện tích, không cần tính chiều cao:
$$\text{Area}=\frac{1}{2}(78)(95)\sin 63^{\circ}=3705\times 0{,}8910=3301\ \text{m}^{2}$$Bước 3 — chi phí. Chu vi là $78+95+91{,}5=264{,}5$ m, nên
$$264{,}5\times 145\,000=38\,352\,500\approx 38\,400\,000\ \text{VND}$$Hai chỗ kiểm tính hợp lý. Thứ nhất, cạnh $c=91{,}5$ phải nằm giữa $95-78=17$ và $95+78=173$ — bất đẳng thức tam giác, và nó bắt được ngay lỗi bấm máy ở chế độ radian ($\cos 63$ radian cho $c=22{,}3$, vẫn nằm trong khoảng nhưng lệch xa). Thứ hai, $63^\circ$ nhỏ hơn $90^\circ$ nên $c$ phải nhỏ hơn $\sqrt{78^{2}+95^{2}}=122{,}9$; nếu ra số lớn hơn thì chắc chắn đã đặt sai dấu trừ trong công thức.
Riêng bước làm tròn ở cuối cần cẩn thận: giữ nguyên $91{,}547$ trong máy tới tận phép nhân cuối, chỉ làm tròn ở kết quả cuối cùng. Làm tròn sớm thành $91{,}5$ rồi mới nhân sẽ lệch khoảng $7\,000$ VND — nhỏ, nhưng IB có trừ điểm chính xác cho lối làm tròn sớm.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Geometry and Trigonometry gồm 14 câu trắc nghiệm và 6 đề tự luận. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.