Mục lục bài họcĐang ở d05-b2
Integration and numerical methods: area and the trapezoidal rule
Integration as accumulated change
If $f'(t)$ is a rate, then $\displaystyle\int_{a}^{b}f'(t)\,dt=f(b)-f(a)$ is the total change between $t=a$ and $t=b$. This single sentence answers most AI integration questions: litres flowed in, extra cost incurred, distance covered.
$$\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c\ (n\ne-1),\qquad \int e^{kx}\,dx=\frac{e^{kx}}{k}+c$$Area between two curves
$$A=\int_{a}^{b}\bigl(y_{\text{tren}}-y_{\text{duoi}}\bigr)\,dx$$The limits come from solving $y_1=y_2$. Subtracting in the wrong order gives the negative of the area.
The trapezoidal rule
$$\int_{a}^{b}y\,dx\approx\frac{h}{2}\Bigl(y_{0}+2(y_{1}+y_{2}+\cdots+y_{n-1})+y_{n}\Bigr),\qquad h=\frac{b-a}{n}$$With $n$ strips there are $n+1$ ordinates. The two end ordinates appear once; every interior ordinate appears twice, because it is shared by two strips.
This is the only method available when the data is a table of measurements and no formula exists — which is precisely the AI situation.
Over- or under-estimate
Where the curve is concave up, each chord lies above the curve and the rule overestimates. Where it is concave down, the rule underestimates. Doubling the number of strips divides the error by roughly $4$.
Tích phân là biến thiên tích luỹ. Nếu $f'(t)$ là một tốc độ thì $\displaystyle\int_{a}^{b}f'(t)\,dt=f(b)-f(a)$ chính là tổng lượng thay đổi từ $t=a$ tới $t=b$. Một câu ấy trả lời gần hết các câu tích phân của AI: bao nhiêu lít nước đã chảy vào, chi phí phát sinh thêm bao nhiêu, quãng đường đi được bao xa.
Hai nguyên hàm cần thuộc: $\displaystyle\int x^{n}\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+c$ với $n\ne-1$, và $\displaystyle\int e^{kx}\,dx=\dfrac{e^{kx}}{k}+c$. Chú ý hệ số $\dfrac{1}{k}$ ở hàm mũ — quên nó là lỗi thầm lặng vì kết quả vẫn có đúng dạng.
Diện tích giữa hai đường. $A=\displaystyle\int_{a}^{b}\bigl(y_{\text{trên}}-y_{\text{dưới}}\bigr)\,dx$, với cận lấy từ nghiệm của $y_1=y_2$. Trừ ngược thứ tự cho ra số đối của diện tích; nếu đáp số âm thì gần như chắc chắn đã đặt nhầm đường nào ở trên.
Quy tắc hình thang.
$$\int_{a}^{b}y\,dx\approx\frac{h}{2}\Bigl(y_{0}+2(y_{1}+y_{2}+\cdots+y_{n-1})+y_{n}\Bigr),\qquad h=\frac{b-a}{n}$$Với $n$ dải thì có $n+1$ tung độ. Hai tung độ ở hai đầu xuất hiện một lần; mọi tung độ ở giữa xuất hiện hai lần, vì mỗi tung độ trong là cạnh chung của hai hình thang liền kề. Hiểu được lý do ấy thì không bao giờ quên nhân đôi.
Đây là phương pháp duy nhất dùng được khi dữ liệu là một bảng số đo và không có công thức nào cả — mà đó chính là tình huống của AI: độ sâu lòng sông đo cách nhau $2$ m, vận tốc xe đọc trên đồng hồ mỗi $5$ giây, lưu lượng nước ghi mỗi giờ.
Thừa hay thiếu. Ở nơi đường cong lõm lên, mọi dây cung nằm phía trên đường cong nên quy tắc hình thang cho kết quả thừa. Ở nơi lõm xuống thì ngược lại, kết quả thiếu. Tăng gấp đôi số dải làm sai số giảm khoảng bốn lần — quan hệ bậc hai này cũng hay được hỏi.
Vận tốc của một xe được ghi mỗi $2$ giây trong $10$ giây đầu.
| $t$ (s) | $0$ | $2$ | $4$ | $6$ | $8$ | $10$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $v$ (m/s) | $0$ | $7{,}5$ | $13{,}2$ | $17{,}1$ | $19{,}4$ | $20{,}5$ |
Ước lượng quãng đường xe đi được, và cho biết ước lượng đó thừa hay thiếu so với quãng đường thật.
Bước 1 — đếm dải và tung độ. Có $6$ tung độ nên có $5$ dải, và $h=2$ s. Đây là chỗ sai lệch một đơn vị hay xảy ra nhất: $6$ số liệu không cho $6$ dải.
Bước 2 — áp dụng công thức. Hai tung độ đầu và cuối là $0$ và $20{,}5$; bốn tung độ trong là $7{,}5;\ 13{,}2;\ 17{,}1;\ 19{,}4$ với tổng $57{,}2$.
$$s\approx\frac{2}{2}\Bigl(0+2(57{,}2)+20{,}5\Bigr)=1\times(114{,}4+20{,}5)=134{,}9\ \text{m}$$Bước 3 — thừa hay thiếu. Nhìn dãy vận tốc: các mức tăng liên tiếp là $7{,}5;\ 5{,}7;\ 3{,}9;\ 2{,}3;\ 1{,}1$ — giảm dần, nên đồ thị vận tốc lõm xuống. Với đường cong lõm xuống, dây cung nằm dưới đường cong, nên quy tắc hình thang cho kết quả thiếu so với quãng đường thật.
Vì sao bài này chỉ giải được bằng phương pháp số: đề không cho công thức của $v(t)$ và cũng không có cách nào tìm ra nó. Đây là tình huống mặc định của AI, và cũng là lý do quy tắc hình thang nằm trong chương trình.
Ba lỗi hay gặp, cả ba đều cho số trông hợp lý. Quên nhân $\dfrac{h}{2}$ mà chỉ nhân $h$: được $269{,}8$ m, gấp đôi. Quên nhân đôi các tung độ trong: được $\dfrac{2}{2}(0+57{,}2+20{,}5)=77{,}7$ m. Cộng thẳng mọi tung độ rồi nhân $h$: được $2(77{,}7)=155{,}4$ m — đây thực chất là tổng hình chữ nhật phải, luôn cho kết quả thừa khi hàm đồng biến.
(a) Tính diện tích miền giới hạn bởi $y=x(4-x)$ và $y=x$.
(b) Nước chảy vào một bể với tốc độ $r(t)=4+0{,}6t^{2}$ lít mỗi phút, với $0\le t\le 5$. Tính lượng nước chảy vào trong $5$ phút đầu.
(a) Bước 1 — tìm cận bằng cách giải giao điểm.
$$x(4-x)=x\;\Longrightarrow\;4x-x^{2}=x\;\Longrightarrow\;3x-x^{2}=0\;\Longrightarrow\;x(3-x)=0$$Vậy $x=0$ và $x=3$. Chú ý không được chia hai vế cho $x$ — làm vậy sẽ mất nghiệm $x=0$ và mất luôn một cận.
Bước 2 — xác định đường nào ở trên. Thử $x=1$: parabol cho $y=3$, đường thẳng cho $y=1$. Parabol ở trên.
$$A=\int_{0}^{3}\bigl[(4x-x^{2})-x\bigr]dx=\int_{0}^{3}(3x-x^{2})\,dx=\left[\frac{3x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{3}$$$$A=\frac{27}{2}-9=13{,}5-9=4{,}5$$Nếu ra $-4{,}5$ thì đã trừ ngược thứ tự; diện tích không bao giờ âm.
(b) Tốc độ tính bằng lít mỗi phút, nên tích phân của nó theo thời gian cho số lít:
$$V=\int_{0}^{5}(4+0{,}6t^{2})\,dt=\left[4t+0{,}2t^{3}\right]_{0}^{5}=20+0{,}2(125)=20+25=45\ \text{lít}$$Kiểm tính hợp lý. Tốc độ chạy từ $r(0)=4$ tới $r(5)=19$ lít/phút. Nếu tốc độ giữ nguyên $4$ suốt thì được $20$ lít; nếu giữ nguyên $19$ suốt thì được $95$ lít. Đáp án $45$ nằm giữa hai chặn ấy, và lệch về phía thấp vì phần lớn thời gian tốc độ còn nhỏ — đúng như dáng của hàm bậc hai.
Hai đáp án sai điển hình chính là hai chặn vừa nêu: $19$ lít (nhầm tốc độ cuối thành tổng lượng) và $95$ lít (nhân tốc độ cuối với thời gian). Cả hai đều là hệ quả của việc quên rằng tốc độ đang thay đổi.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Calculus gồm 14 câu trắc nghiệm và 6 đề tự luận. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.