Mục lục bài họcĐang ở d01-b2
Sequences, series and financial mathematics
Arithmetic and geometric models
An arithmetic sequence adds a constant $d$; a geometric sequence multiplies by a constant $r$.
$$u_{n}=u_{1}+(n-1)d,\qquad S_{n}=\frac{n}{2}\bigl(2u_{1}+(n-1)d\bigr)$$$$u_{n}=u_{1}r^{\,n-1},\qquad S_{n}=\frac{u_{1}(r^{n}-1)}{r-1},\qquad S_{\infty}=\frac{u_{1}}{1-r}\ \ (|r|<1)$$The modelling decision comes first: a fixed pay rise of $900\,000$ per year is arithmetic; a rise of $6.5\%$ per year is geometric. Reading the wrong one costs every mark that follows.
Compound interest
$$FV=PV\left(1+\frac{r}{100k}\right)^{kn}$$with $k$ compounding periods per year and $n$ years. The quoted rate $r$ is nominal; the effective annual rate is $\left(1+\frac{r}{100k}\right)^{k}-1$ and is what actually compares two offers.
Real value and amortisation
With inflation $i$, the real (constant-price) value of an amount $A$ received $n$ years later is $A/(1+i)^{n}$, and the real rate of return is $\frac{1+r}{1+i}-1$, not $r-i$.
For a loan repaid by equal instalments,
$$PMT=\frac{PV\cdot i}{1-(1+i)^{-N}}$$where $i$ is the rate per payment period and $N$ the number of payments. On the GDC finance solver, money received and money paid must carry opposite signs.
Chọn mô hình trước, tính sau. Dãy arithmetic cộng thêm hằng số $d$; dãy geometric nhân với hằng số $r$.
$$u_{n}=u_{1}+(n-1)d,\qquad S_{n}=\frac{n}{2}\bigl(2u_{1}+(n-1)d\bigr)$$$$u_{n}=u_{1}r^{\,n-1},\qquad S_{n}=\frac{u_{1}(r^{n}-1)}{r-1},\qquad S_{\infty}=\frac{u_{1}}{1-r}\ \ (|r|<1)$$Quyết định mô hình luôn đến trước phép tính: “mỗi năm tăng thêm $900\,000$ đồng” là cấp số cộng, còn “mỗi năm tăng $6{,}5\%$” là cấp số nhân. Đọc nhầm một chữ là mất toàn bộ điểm phía sau, kể cả khi các bước tính đều đúng.
Lãi kép.
$$FV=PV\left(1+\frac{r}{100k}\right)^{kn}$$với $k$ là số kỳ gộp lãi trong một năm và $n$ là số năm. Lãi suất đề cho là lãi suất nominal (danh nghĩa); muốn so sánh hai gói gửi tiền thì phải quy về lãi suất effective (thực nhận) $\left(1+\frac{r}{100k}\right)^{k}-1$. Hai gói cùng ghi $6\%$ nhưng gộp theo quý và theo tháng là hai mức sinh lời khác nhau.
Giá trị thực và trả góp. Với lạm phát $i$, một khoản $A$ nhận sau $n$ năm chỉ đáng $A/(1+i)^{n}$ theo mặt bằng giá hôm nay, và lãi suất thực là $\frac{1+r}{1+i}-1$ chứ không phải $r-i$. Phép trừ chỉ là xấp xỉ, và nó lệch dần khi lạm phát cao.
Với khoản vay trả góp đều nhau:
$$PMT=\frac{PV\cdot i}{1-(1+i)^{-N}}$$trong đó $i$ là lãi suất của một kỳ trả và $N$ là số kỳ trả. Trên máy tính đồ thị, tiền nhận vào và tiền trả ra phải mang dấu ngược nhau; đặt cùng dấu thì máy trả về một con số âm hoặc báo lỗi hội tụ, chứ không ra đáp số sai một cách kín đáo.
Gửi $15\,000$ USD vào tài khoản trả lãi suất danh nghĩa $4{,}8\%$ mỗi năm, gộp lãi hằng tháng, trong $6$ năm.
(a) Tính số tiền cuối kỳ. (b) Tìm lãi suất thực nhận hằng năm và giải thích vì sao nó lớn hơn $4{,}8\%$.
(a) Lãi suất mỗi tháng là $\dfrac{0{,}048}{12}=0{,}004$; số kỳ là $12\times6=72$.
$$FV=15\,000(1{,}004)^{72}=15\,000\times1{,}332991=19\,994{,}87\ \text{USD}$$Tiền lãi là $4\,994{,}87$ USD.
(b) Lãi suất thực nhận $R$ thoả $(1+R)^{6}=1{,}332991$, hay gọn hơn $1+R=(1{,}004)^{12}$:
$$1+R=(1{,}004)^{12}=1{,}049070\quad\Rightarrow\quad R=4{,}91\%$$Vì sao lớn hơn $4{,}8\%$. Con số $4{,}8\%$ chỉ là cách gọi tên: nó bằng $0{,}4\%$ mỗi tháng nhân với $12$. Nhưng lãi tháng thứ nhất được cộng vào vốn và tự sinh lãi trong $11$ tháng còn lại. Phần lãi đẻ ra từ lãi ấy chính là khoảng cách $4{,}91\%-4{,}80\%=0{,}11$ điểm phần trăm. Gộp càng dày thì khoảng cách càng rộng, và đó là lý do luật ngân hàng nhiều nước bắt công bố con số thực nhận chứ không phải con số danh nghĩa.
Một gia đình vay $200\,000\,000$ VND với lãi suất danh nghĩa $9\%$ mỗi năm, gộp lãi hằng tháng, trả góp đều đặn cuối mỗi tháng trong $5$ năm.
(a) Tính số tiền phải trả mỗi tháng. (b) Tính tổng tiền lãi phải trả và bình luận về tỉ lệ của nó so với khoản vay.
(a) Lãi suất một kỳ trả: $i=\dfrac{0{,}09}{12}=0{,}0075$; số kỳ trả: $N=60$.
$$PMT=\frac{PV\cdot i}{1-(1+i)^{-N}}=\frac{200\,000\,000\times0{,}0075}{1-(1{,}0075)^{-60}}$$Tính riêng mẫu số: $(1{,}0075)^{60}=1{,}565681$, nên $(1{,}0075)^{-60}=0{,}638700$ và mẫu số bằng $0{,}361300$.
$$PMT=\frac{1\,500\,000}{0{,}361300}=4\,151\,700\ \text{VND mỗi tháng}$$(b) Tổng trả: $60\times4\,151\,700=249\,102\,000$ VND, nên tiền lãi xấp xỉ $49\,100\,000$ VND, tức khoảng $24{,}6\%$ của khoản vay.
Bình luận theo kiểu AI. Con số $24{,}6\%$ nhỏ hơn nhiều so với “$9\%$ mỗi năm trong $5$ năm” mà nhiều người nhẩm ra là $45\%$. Lý do: dư nợ giảm dần sau mỗi kỳ trả, nên lãi chỉ tính trên phần còn nợ, và về cuối kỳ phần lãi trong mỗi khoản trả gần như bằng không. Muốn kiểm tra nhanh đáp số có hợp lý không, hãy so với dư nợ trung bình: khoảng một nửa khoản vay trong $5$ năm ở mức $9\%$ cho $100\,000\,000\times0{,}09\times5=45\,000\,000$ VND, cùng cỡ với $49\,100\,000$ VND.
Bẫy thứ hai: lấy hiệu để tính lãi suất thực. $7{,}5\%-4{,}2\%=3{,}3\%$ không phải lãi suất thực; con số đúng là $\frac{1{,}075}{1{,}042}-1=3{,}17\%$. Phép trừ là xấp xỉ tốt khi cả hai con số nhỏ, và tệ dần khi lạm phát lớn — đúng những nước mà đề IB hay lấy làm bối cảnh.
Bẫy thứ ba: trả đầu kỳ hay cuối kỳ. Cùng một dòng tiền, trả vào đầu mỗi kỳ cho kết quả lớn hơn đúng một hệ số $(1+i)$. Đề luôn nói rõ “at the end of each month” hoặc “at the start”; bỏ qua chi tiết ấy là lệch khoảng $0{,}4\%$ ở ví dụ trên, đủ để rơi khỏi mức làm tròn $3$ chữ số có nghĩa.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Number and Algebra gồm 14 câu trắc nghiệm và 6 đề tự luận, ra khó hơn đề thật 30–50%. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.