Mục lục bài họcĐang ở d02-b2
Exponential and logarithmic models
The three-parameter exponential model
$$f(t)=k\,a^{t}+c\quad\text{or}\quad f(t)=k\,e^{rt}+c$$Here $c$ is the horizontal asymptote, $k$ is the initial gap between $f(0)$ and $c$, and $a$ (or $r$) controls the speed. Growth needs $a>1$, decay needs $0
Newton's law of cooling is exactly this model with $c=$ ambient temperature:
$$T(t)=T_{\text{amb}}+(T_{0}-T_{\text{amb}})e^{-kt}$$Doubling time and half-life
$$a^{t}=2\Rightarrow t=\frac{\ln 2}{\ln a},\qquade^{-kt}=\tfrac12\Rightarrow t=\frac{\ln 2}{k}$$Straightening a curve with logarithms
Two different plots test two different models.
- $y=k\,a^{x}$ gives $\ln y=\ln k+(\ln a)x$: plot $\ln y$ against $x$.
- $y=a\,x^{n}$ gives $\ln y=\ln a+n\ln x$: plot $\ln y$ against $\ln x$.
Whichever plot is straight identifies the model, and its gradient and intercept give the parameters. This is the standard HL technique for deciding between exponential and power growth from data.
Mô hình mũ ba tham số.
$$f(t)=k\,a^{t}+c\quad\text{hoặc}\quad f(t)=k\,e^{rt}+c$$Trong đó $c$ là tiệm cận ngang, $k$ là khoảng cách ban đầu giữa $f(0)$ và $c$, còn $a$ (hoặc $r$) điều khiển tốc độ. Tăng thì $a>1$, giảm thì $0
Định luật nguội của Newton chính là mô hình này với $c$ là nhiệt độ môi trường:
$$T(t)=T_{\text{amb}}+(T_{0}-T_{\text{amb}})e^{-kt}$$Thời gian nhân đôi và chu kỳ bán rã.
$$a^{t}=2\Rightarrow t=\frac{\ln 2}{\ln a},\qquad e^{-kt}=\tfrac12\Rightarrow t=\frac{\ln 2}{k}$$Chú ý ở vế trái là $\ln a$ chứ không phải $a-1$. Với mức tăng $3{,}7\%$ mỗi năm, dùng $0{,}037$ thay cho $\ln 1{,}037=0{,}03633$ cho $18{,}7$ năm thay vì $19{,}1$ năm — sai ngay ở chữ số có nghĩa thứ ba.
Duỗi thẳng đường cong bằng lôgarit. Hai kiểu vẽ khác nhau kiểm hai mô hình khác nhau:
- $y=k\,a^{x}$ cho $\ln y=\ln k+(\ln a)x$ — vẽ $\ln y$ theo $x$.
- $y=a\,x^{n}$ cho $\ln y=\ln a+n\ln x$ — vẽ $\ln y$ theo $\ln x$.
Đồ thị nào thẳng thì mô hình ấy đúng, và hệ số góc cùng tung độ gốc của nó cho thẳng hai tham số. Đây là kỹ thuật chuẩn của AI HL để phân biệt tăng trưởng mũ với tăng trưởng luỹ thừa từ số liệu, và nó là câu trả lời cho dạng đề “which model is more appropriate, and justify your choice”.
Các chấm tròn là số liệu đo thật, không nằm chính xác trên đường cong — và đó mới là tình huống bình thường của AI. Câu hỏi hay đi kèm không phải “tính $T$ tại $t=25$” mà là “mô hình có mô tả tốt số liệu không, và nó sai ở đoạn nào”. Nhìn hình thì mô hình bám sát ở đoạn giữa và hơi thấp hơn số liệu ở đoạn cuối, dấu hiệu quen thuộc của việc nhiệt độ phòng thật ra cao hơn $24$ độ một chút.
Một cốc cà phê ở $92$ °C được đặt trong phòng $24$ °C. Sau $10$ phút nhiệt độ đo được là $54{,}5$ °C. Mô hình dùng là $T=24+68e^{-kt}$ với $t$ tính bằng phút.
(a) Tìm $k$, làm tròn tới $3$ chữ số có nghĩa. (b) Tìm thời điểm cà phê xuống $40$ °C. (c) Mô hình nói cà phê không bao giờ đạt $24$ °C; giải thích điều đó có mâu thuẫn với thực tế không.
(a) Thay $t=10$, $T=54{,}5$:
$$54{,}5=24+68e^{-10k}\;\Rightarrow\;e^{-10k}=\frac{30{,}5}{68}=0{,}448529$$$$-10k=\ln 0{,}448529=-0{,}801782\;\Rightarrow\;k=0{,}0802$$(b) Đặt $T=40$:
$$40=24+68e^{-0{,}0802t}\;\Rightarrow\;e^{-0{,}0802t}=\frac{16}{68}=0{,}235294$$$$t=\frac{-\ln 0{,}235294}{0{,}0802}=\frac{1{,}44692}{0{,}080182}=18{,}0\ \text{phút}$$(c) Không mâu thuẫn, và lý do đáng viết đủ. Trong mô hình, $68e^{-kt}$ dương với mọi $t$ nên $T$ luôn lớn hơn $24$ một chút: $y=24$ là tiệm cận ngang, đường cong tiến sát nhưng không cắt. Trên thực tế, nhiệt kế chỉ đọc tới $0{,}1$ độ, và chênh lệch tụt xuống dưới $0{,}1$ độ khi
$$68e^{-0{,}0802t}<0{,}1\;\Rightarrow\;t>\frac{\ln 680}{0{,}0802}=81{,}3\ \text{phút}$$Vậy sau khoảng một tiếng hai mươi phút, mọi phép đo sẽ báo đúng $24$ °C. Mô hình và thực tế không xung đột: chúng chỉ khác nhau ở chỗ mô hình có độ phân giải vô hạn còn phép đo thì không.
Một đại lượng $y$ được đo tại năm giá trị của $x$.
| $x$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $y$ | $6{,}0$ | $24{,}2$ | $54{,}0$ | $96{,}5$ | $150{,}0$ |
Xác định xem mô hình mũ $y=ka^{x}$ hay mô hình luỹ thừa $y=ax^{n}$ mô tả số liệu tốt hơn, và tìm mô hình đó.
Bước 1 — lập bảng lôgarit.
| $x$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $\ln x$ | $0$ | $0{,}693$ | $1{,}099$ | $1{,}386$ | $1{,}609$ |
| $\ln y$ | $1{,}792$ | $3{,}186$ | $3{,}989$ | $4{,}570$ | $5{,}011$ |
Bước 2 — thử mô hình mũ. Vẽ $\ln y$ theo $x$: các bước nhảy liên tiếp là $1{,}394$; $0{,}803$; $0{,}581$; $0{,}441$. Chúng giảm đều chứ không hằng số, nên $\ln y$ không tuyến tính theo $x$ và mô hình mũ bị loại.
Bước 3 — thử mô hình luỹ thừa. Vẽ $\ln y$ theo $\ln x$:
$$\frac{3{,}186-1{,}792}{0{,}693-0}=2{,}01,\qquad\frac{5{,}011-3{,}989}{1{,}609-1{,}099}=2{,}00$$Hệ số góc giữ nguyên $2{,}00$ trên toàn dải, nên quan hệ là tuyến tính và mô hình luỹ thừa đúng.
Bước 4 — lấy tham số. Hệ số góc là $n=2$; tung độ gốc là $\ln a=1{,}792$ nên $a=e^{1{,}792}=6{,}00$.
$$y=6{,}0\,x^{2}$$Kiểm nhanh: $6(4)=24$ so với $24{,}2$; $6(25)=150$ so với $150{,}0$. Bài học chung: một đường cong đi lên ngày càng dốc không tự động là hàm mũ — phải để lôgarit phân xử, vì hai họ hàm này trông rất giống nhau trong một khoảng dữ liệu ngắn.
Bẫy thứ hai: dùng $r$ thay cho $\ln(1+r)$. Thời gian nhân đôi của mức tăng $3{,}7\%$ mỗi năm là $\frac{\ln 2}{\ln 1{,}037}$, không phải $\frac{\ln 2}{0{,}037}$. Hai con số chênh nhau khoảng $2\%$ — vừa đủ để trượt yêu cầu ba chữ số có nghĩa mà vẫn trông hợp lý.
Bẫy thứ ba: thấy cong là kết luận hàm mũ. $y=6x^{2}$ và $y=6(1{,}9)^{x}$ đi qua gần nhau trong khoảng $x$ từ $1$ đến $5$ nhưng phân kỳ dữ dội sau đó. Chỉ có phép thử lôgarit mới phân biệt được, và phải chọn đúng cặp trục: $\ln y$ theo $x$ cho hàm mũ, $\ln y$ theo $\ln x$ cho hàm luỹ thừa.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Functions gồm 14 câu trắc nghiệm và 6 đề tự luận, ra khó hơn đề thật 30–50%. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.