Mục lục bài họcĐang ở d01-b1
Approximation, bounds and percentage error
Rounding, bounds and standard form
A value given to a stated accuracy stands for a whole interval. If a length is $8.6$ m correct to $2$ significant figures, the true value $L$ satisfies $8.55\le L<8.65$. The two ends are the lower bound and the upper bound.
Standard form writes a number as $a\times10^{k}$ with $1\le a<10$ and $k\in\mathbb{Z}$. On a GDC the display 2.91E0 means $2.91\times10^{0}$, which is simply $2.91$ — the exponent is allowed to be zero.
Percentage error
$$\varepsilon=\left|\frac{v_{A}-v_{E}}{v_{E}}\right|\times100\%$$Here $v_{E}$ is the exact value and $v_{A}$ the approximation. The exact value is always the denominator; that single convention decides the third significant figure of most answers in this topic.
How error travels through a formula
If a quantity is computed as a power of a measured value, the relative error is multiplied by roughly that power: a $p\%$ error in $r$ gives about $2p\%$ in $r^{2}$ and $3p\%$ in $r^{3}$. Applications and Interpretation asks you not only to compute this but to comment on whether the answer is precise enough for the context — a $4\%$ error is fine for estimating paint, and useless for dosing medicine.
Làm tròn và biên sai số. Một con số cho kèm độ chính xác luôn đại diện cho cả một khoảng. Chiều dài ghi $8{,}6$ m chính xác tới $2$ chữ số có nghĩa nghĩa là giá trị thật $L$ thoả $8{,}55\le L<8{,}65$; hai đầu khoảng gọi là lower bound và upper bound. Nhớ rằng biên dưới lấy dấu bằng còn biên trên thì không — nhưng khi tính toán ta vẫn dùng $8{,}65$ vì đó là giá trị chặn trên nhỏ nhất.
Dạng chuẩn (standard form) viết số dưới dạng $a\times10^{k}$ với $1\le a<10$. Máy tính hiện 2.91E0 tức $2{,}91\times10^{0}$, và đúng là bằng $2{,}91$ — số mũ được phép bằng $0$, đây là chỗ học viên hay nghĩ mình làm sai rồi đi sửa cho ra số mũ khác.
Sai số phần trăm (percentage error).
$$\varepsilon=\left|\frac{v_{A}-v_{E}}{v_{E}}\right|\times100\%$$$v_{E}$ là giá trị đúng, $v_{A}$ là giá trị xấp xỉ. Mẫu số luôn là giá trị đúng. Chỉ riêng quy ước đó quyết định chữ số có nghĩa thứ ba của hầu hết đáp số trong chương này.
Sai số lan truyền qua công thức. Nếu đại lượng cần tìm là một luỹ thừa của đại lượng đo được thì sai số tương đối được nhân lên xấp xỉ bấy nhiêu lần: sai $p\%$ ở $r$ thành khoảng $2p\%$ ở $r^{2}$ và $3p\%$ ở $r^{3}$. Riêng với AI, đề không dừng ở con số mà đòi bình luận xem độ chính xác ấy có đủ dùng cho tình huống không — sai $4\%$ khi ước lượng lượng sơn thì chấp nhận được, còn khi tính liều thuốc thì hoàn toàn không.
Một bản tin ghi dân số của thành phố là $2{,}4$ triệu người, làm tròn tới $2$ chữ số có nghĩa. Tổng điều tra sau đó cho con số chính xác là $2\,358\,900$ người.
(a) Viết biên dưới và biên trên của con số đã công bố. (b) Tính sai số phần trăm của con số công bố, làm tròn tới $3$ chữ số có nghĩa.
(a) Làm tròn tới $2$ chữ số có nghĩa, đơn vị làm tròn là $0{,}1$ triệu, nên nửa đơn vị là $0{,}05$ triệu:
$$2{,}35\ \text{triệu}\le P<2{,}45\ \text{triệu}$$(b) Giá trị đúng $v_{E}=2\,358\,900$, giá trị xấp xỉ $v_{A}=2\,400\,000$.
$$\varepsilon=\left|\frac{2\,400\,000-2\,358\,900}{2\,358\,900}\right|\times100\%=\frac{41\,100}{2\,358\,900}\times100\%=1{,}74\%$$Hai điểm cần nói rõ. Thứ nhất, mẫu số là $2\,358\,900$ chứ không phải $2\,400\,000$; lấy nhầm mẫu cho $1{,}71\%$ — chênh ngay ở chữ số có nghĩa thứ ba, đúng mức mà IB chấm. Thứ hai, con số đúng nằm trong khoảng ở câu (a), nên bản tin không viết sai: nó chỉ nói ít thông tin hơn.
Một quốc gia thải $2{,}83\times10^{8}$ tấn CO2 mỗi năm và có dân số $9{,}72\times10^{7}$ người.
(a) Tính lượng phát thải bình quân đầu người, viết ở dạng chuẩn với $3$ chữ số có nghĩa. (b) Giả sử con số dân số thật ra cao hơn $2\%$ so với số đã dùng. Tính lại kết quả và cho biết sai số phần trăm của câu (a).
(a) Chia hệ số cho hệ số, trừ số mũ cho số mũ:
$$\frac{2{,}83\times10^{8}}{9{,}72\times10^{7}}=\frac{2{,}83}{9{,}72}\times10^{8-7}=0{,}291152\times10^{1}=2{,}91\times10^{0}\ \text{tấn/người}$$Chú ý hai bước chuẩn hoá: $0{,}291152\times10^{1}$ chưa ở dạng chuẩn vì hệ số nhỏ hơn $1$; dời dấu phẩy sang phải một chữ số thì số mũ phải giảm một đơn vị, cho $2{,}91\times10^{0}$. Số mũ bằng $0$ là kết quả hợp lệ, đáp số chính là $2{,}91$ tấn mỗi người.
(b) Dân số đúng là $9{,}72\times10^{7}\times1{,}02=9{,}9144\times10^{7}$, nên
$$\frac{2{,}83\times10^{8}}{9{,}9144\times10^{7}}=2{,}854\ \text{tấn/người}$$$$\varepsilon=\left|\frac{2{,}9115-2{,}8544}{2{,}8544}\right|\times100\%=2{,}00\%$$Kết quả này minh hoạ một quy tắc đáng nhớ: đại lượng ở mẫu số lệch $2\%$ thì thương số cũng lệch xấp xỉ $2\%$, vì số mũ của nó là $-1$. Bình luận theo kiểu AI: với mục đích so sánh giữa các quốc gia, mức $2\%$ hoàn toàn chấp nhận được vì chênh lệch giữa các nước thường tính bằng lần chứ không bằng phần trăm.
Bẫy thứ hai: làm tròn giữa chừng. Bài có nhiều bước thì mọi giá trị trung gian phải giữ nguyên trong máy, chỉ làm tròn ở dòng cuối. Làm tròn $2{,}9115$ thành $2{,}91$ rồi mới đem đi chia sẽ đẩy sai số vào đúng chữ số có nghĩa thứ ba mà IB đang chấm.
Bẫy thứ ba: nhầm sai số phần trăm với phần trăm thay đổi. Hai công thức giống hệt nhau về hình thức nhưng khác nhau ở dấu giá trị tuyệt đối và ở ý nghĩa của mẫu số. Sai số phần trăm luôn không âm; phần trăm thay đổi thì có dấu, và mẫu số của nó là giá trị ban đầu chứ không phải giá trị đúng.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Number and Algebra gồm 14 câu trắc nghiệm và 6 đề tự luận, ra khó hơn đề thật 30–50%. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.