Mục lục bài họcĐang ở d03-b2
Three-dimensional solids: volume, surface area and angles
The formulae that are given, and the one that is not
$$V_{\text{cyl}}=\pi r^{2}h,\quad V_{\text{cone}}=\tfrac13\pi r^{2}h,\quad V_{\text{sph}}=\tfrac43\pi r^{3},\quad V_{\text{pyr}}=\tfrac13(\text{base area})h$$$$A_{\text{cone, curved}}=\pi r l,\quad A_{\text{sph}}=4\pi r^{2},\quad A_{\text{cyl, curved}}=2\pi r h$$The formula booklet supplies all of these. What it does not supply is the decision about which faces actually exist in the object described. A grain silo made of a cylinder capped by a cone has no top disc and no join disc; painting it means $\pi r l + 2\pi r h$, not the sum of two complete surface areas.
Slant height is not vertical height
Cone problems almost always give $h$ and require $l=\sqrt{r^{2}+h^{2}}$ before any surface area can be computed. Volume uses $h$; curved surface area uses $l$. Using one where the other belongs is the single most common error in this topic.
Angles in three dimensions
To find the angle between a line and a plane, project the line onto the plane. The angle you want lies in the right-angled triangle formed by the line, its projection, and the perpendicular between them. For a cuboid $a\times b\times c$ the space diagonal makes an angle $\theta$ with the base where $\tan\theta=\dfrac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$ — the denominator is the base diagonal, not an edge.
Scaling
If every length is multiplied by $k$, areas multiply by $k^{2}$ and volumes by $k^{3}$. A model at $1:50$ has $\tfrac{1}{125\,000}$ of the volume, so a "half-size" tank holds one eighth, not one half.
Công thức nào được cho, và điều gì không được cho. Bảng công thức của IB cấp sẵn $V_{\text{trụ}}=\pi r^{2}h$, $V_{\text{nón}}=\tfrac13\pi r^{2}h$, $V_{\text{cầu}}=\tfrac43\pi r^{3}$, $V_{\text{chóp}}=\tfrac13 S_{\text{đáy}}h$, cùng $\pi r l$, $4\pi r^{2}$ và $2\pi r h$. Thứ nó không cấp — và cũng là thứ đề thật sự hỏi — là quyết định xem vật thể đó thực sự có những mặt nào.
Một silo chứa lúa gồm hình trụ đội nón ở trên thì không có mặt tròn trên đỉnh trụ, cũng không có mặt tròn ở chỗ nối. Sơn nó là sơn $\pi r l + 2\pi r h$, không phải cộng hai diện tích toàn phần lại. Với bán cầu úp lên trụ cũng vậy: mặt tròn phẳng của bán cầu biến mất vào chỗ nối. Bước đầu tiên của mọi bài diện tích bề mặt là vẽ hình và gạch bỏ những mặt bị dán vào nhau.
Đường sinh khác chiều cao. Bài nón gần như luôn cho $h$ rồi bắt tự tính $l=\sqrt{r^{2}+h^{2}}$. Thể tích dùng $h$; diện tích xung quanh dùng $l$. Lấy nhầm cái này thay cái kia là lỗi phổ biến nhất của cả mục, và kết quả sai vẫn có đơn vị đúng nên không tự lộ.
Góc trong không gian. Muốn tìm góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng thì chiếu đường thẳng ấy xuống mặt phẳng. Góc cần tìm nằm trong tam giác vuông tạo bởi đường thẳng, hình chiếu của nó, và đoạn vuông góc nối hai đầu. Với hộp chữ nhật $a\times b\times c$, đường chéo không gian hợp với đáy góc $\theta$ thoả $\tan\theta=\dfrac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$ — mẫu số là đường chéo đáy, không phải một cạnh.
Tỉ lệ đồng dạng. Nhân mọi độ dài với $k$ thì diện tích nhân $k^{2}$ và thể tích nhân $k^{3}$. Mô hình tỉ lệ $1:50$ có thể tích bằng $\dfrac{1}{125\,000}$ vật thật; bể “thu nhỏ một nửa” chứa được một phần tám chứ không phải một nửa.
Một silo chứa lúa gồm một hình trụ bán kính $3$ m, chiều cao $8$ m, phía trên đội một hình nón có cùng bán kính và chiều cao $4$ m. Silo đặt trên nền bê tông và không có nắp phẳng nào.
Tính thể tích chứa của silo, và diện tích bề mặt cần sơn (toàn bộ phần thấy được từ bên ngoài trừ mặt đáy tiếp đất).
Bước 1 — thể tích. Hai khối cộng lại, không có phần chồng lấn:
$$V=\pi r^{2}h_{\text{trụ}}+\tfrac13\pi r^{2}h_{\text{nón}}=\pi(9)(8)+\tfrac13\pi(9)(4)=72\pi+12\pi=84\pi$$$$V=263{,}9\ \text{m}^{3}$$Bước 2 — đường sinh của nón. Đây là bước bị bỏ quên nhiều nhất:
$$l=\sqrt{r^{2}+h^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5\ \text{m}$$Bước 3 — liệt kê mặt nào thật sự tồn tại. Mặt xung quanh trụ: có. Mặt xung quanh nón: có. Mặt tròn đỉnh trụ: không — nó bị nón úp lên. Mặt đáy trụ: có tồn tại nhưng tiếp đất nên không sơn.
$$A=2\pi r h+\pi r l=2\pi(3)(8)+\pi(3)(5)=48\pi+15\pi=63\pi=197{,}9\ \text{m}^{2}$$Vì sao câu này đáng giá. Nếu cộng máy móc diện tích toàn phần của trụ ($2\pi rh+2\pi r^{2}=48\pi+18\pi$) với diện tích toàn phần của nón ($\pi r l+\pi r^{2}=15\pi+9\pi$), sẽ ra $90\pi=282{,}7$ m$^{2}$ — nhiều hơn $43\%$. Con số ấy đếm mặt nối tới hai lần và đếm cả mặt tiếp đất.
Lỗi thứ hai đáng nêu: dùng $h=4$ thay cho $l=5$ ở công thức $\pi r l$ cho $48\pi+12\pi=60\pi=188{,}5$ m$^{2}$. Sai lệch chỉ $5\%$ nên nhìn đáp số không phát hiện được — cách duy nhất là ghi rõ dòng $l=\sqrt{3^2+4^2}=5$ ra giấy trước khi thay số.
Một chóp đều có đáy là hình vuông cạnh $10$ cm và chiều cao thẳng đứng $12$ cm. Tính góc giữa một cạnh bên và mặt đáy, và góc giữa một mặt bên và mặt đáy, cho kết quả tới $0{,}1^\circ$.
Hai câu hỏi này khác nhau, và chúng khác nhau ở đúng một chỗ: tam giác vuông dùng để tính có cạnh đáy khác nhau.
Phần 1 — cạnh bên và mặt đáy. Hình chiếu của cạnh bên xuống đáy là đoạn nối tâm đáy tới một đỉnh của hình vuông, tức nửa đường chéo:
$$\text{nửa chéo}=\frac{1}{2}\sqrt{10^{2}+10^{2}}=\frac{10\sqrt2}{2}=7{,}071\ \text{cm}$$$$\tan\theta_{1}=\frac{12}{7{,}071}\;\Longrightarrow\;\theta_{1}=59{,}5^{\circ}$$Phần 2 — mặt bên và mặt đáy. Bây giờ đoạn nằm trong đáy là đoạn nối tâm tới trung điểm một cạnh, tức nửa cạnh:
$$\text{nửa cạnh}=5\ \text{cm}\;\Longrightarrow\;\tan\theta_{2}=\frac{12}{5}\;\Longrightarrow\;\theta_{2}=67{,}4^{\circ}$$Kiểm tính hợp lý. Mặt bên phải dốc hơn cạnh bên — cạnh bên chạy ra tận góc xa nhất của đáy nên nó thoải hơn. Kết quả $67{,}4^{\circ}>59{,}5^{\circ}$ khớp với trực giác đó. Nếu ra ngược lại thì chắc chắn đã hoán đổi hai đoạn đáy.
Đây cũng là bẫy nguyên bản của dạng bài: hai câu hỏi nghe gần giống nhau, cùng chiều cao $12$, chỉ khác một chữ “cạnh bên” hay “mặt bên”, và ai đọc lướt sẽ trả lời cùng một con số cho cả hai.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Geometry and Trigonometry gồm 14 câu trắc nghiệm và 6 đề tự luận. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.