Mục lục bài họcĐang ở d01-b3
Matrices, Markov chains and systems of equations
Matrix algebra you actually use
Matrix multiplication is defined when the inner dimensions agree: an $m\times n$ times an $n\times p$ gives $m\times p$. It is not commutative: in general $AB\neq BA$, and one of the two may not even exist.
For a $2\times2$ matrix, $\det A=ad-bc$ and
$$A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$$A system of linear equations becomes $AX=B$, solved as $X=A^{-1}B$. If $\det A=0$ there is no unique solution — the GDC reports an error rather than a number.
Transition matrices and Markov chains
With state vectors written as columns, $s_{n+1}=Ts_{n}$ and $s_{n}=T^{n}s_{0}$. Every column of $T$ sums to $1$, because everything leaving a state must go somewhere.
The steady state $s$ satisfies $Ts=s$, i.e. it is the eigenvector of $T$ for the eigenvalue $\lambda=1$, scaled so its entries add to $1$.
Eigenvalues
$$\det(A-\lambda I)=0$$For a $2\times2$ matrix this is $\lambda^{2}-(\operatorname{tr}A)\lambda+\det A=0$. Every transition matrix has $\lambda_{1}=1$; the second eigenvalue controls how fast the chain settles, because the distance from the steady state is multiplied by $\lambda_{2}$ each step.
Phần đại số ma trận thực sự dùng đến. Phép nhân ma trận chỉ định nghĩa được khi hai chiều trong khớp nhau: $m\times n$ nhân $n\times p$ cho $m\times p$. Phép nhân không giao hoán: nói chung $AB\neq BA$, và rất thường xảy ra chuyện một trong hai tích thậm chí không tồn tại.
Với ma trận vuông cấp $2$: $\det A=ad-bc$ và
$$A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$$Một hệ phương trình bậc nhất viết được thành $AX=B$ và giải bằng $X=A^{-1}B$. Nếu $\det A=0$ thì hệ không có nghiệm duy nhất, và máy tính báo lỗi chứ không trả về con số — đó là tín hiệu để quay lại đọc đề, thường là do hai dữ kiện trong đề nói cùng một điều.
Ma trận chuyển và xích Markov. Viết vectơ trạng thái thành cột thì $s_{n+1}=Ts_{n}$ và $s_{n}=T^{n}s_{0}$. Mỗi cột của $T$ cộng lại bằng $1$, vì tất cả những gì rời khỏi một trạng thái đều phải đi đến đâu đó.
Trạng thái dừng (steady state) $s$ thoả $Ts=s$, tức là vectơ riêng của $T$ ứng với trị riêng $\lambda=1$, được chia lại để tổng các thành phần bằng $1$.
Trị riêng.
$$\det(A-\lambda I)=0$$Với ma trận cấp $2$, phương trình này gọn thành $\lambda^{2}-(\operatorname{tr}A)\lambda+\det A=0$. Mọi ma trận chuyển đều có $\lambda_{1}=1$; trị riêng thứ hai quyết định tốc độ hệ đi về trạng thái dừng, vì khoảng cách tới trạng thái dừng bị nhân với $\lambda_{2}$ sau mỗi bước. Đó là lý do một câu hỏi rất hay của AI HL là “sau bao nhiêu tuần thì thị phần coi như đã ổn định” — câu trả lời nằm ở $\lambda_{2}$ chứ không nằm ở trạng thái dừng.
Dùng ma trận chuyển trong hình. Tuần này $40\%$ số người trong nhóm khảo sát đi xe buýt.
(a) Tính tỉ lệ đi xe buýt sau $1$, $2$ và $3$ tuần. (b) Tìm tỉ lệ về lâu dài.
(a) Với $s_{0}=\begin{pmatrix}0{,}40\\0{,}60\end{pmatrix}$, thành phần thứ nhất của $s_{n+1}$ là $0{,}85b_{n}+0{,}30m_{n}$:
| Tuần | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
|---|---|---|---|---|
| Xe buýt | $0{,}400$ | $0{,}520$ | $0{,}586$ | $0{,}622$ |
| Xe máy | $0{,}600$ | $0{,}480$ | $0{,}414$ | $0{,}378$ |
Chi tiết bước đầu: $0{,}85(0{,}40)+0{,}30(0{,}60)=0{,}34+0{,}18=0{,}52$.
(b) Trạng thái dừng thoả $b=0{,}85b+0{,}30m$ với $b+m=1$:
$$b=0{,}85b+0{,}30(1-b)\;\Rightarrow\;0{,}45b=0{,}30\;\Rightarrow\;b=\tfrac{2}{3}=0{,}667$$Vậy về lâu dài khoảng $66{,}7\%$ đi xe buýt và $33{,}3\%$ đi xe máy. Dãy $0{,}400$, $0{,}520$, $0{,}586$, $0{,}622$ đang bò lên đúng con số đó, và bò chậm dần — mỗi tuần lấp được đúng $55\%$ phần khoảng cách còn lại. Ví dụ sau sẽ cho biết con số $55\%$ ấy từ đâu ra.
Với $T=\begin{pmatrix}0{,}85&0{,}30\\0{,}15&0{,}70\end{pmatrix}$: (a) tìm hai trị riêng; (b) dùng chúng để giải thích vì sao khoảng cách giữa tỉ lệ đi xe buýt và giá trị $\tfrac{2}{3}$ giảm theo cấp số nhân, và ước lượng sau bao nhiêu tuần khoảng cách ấy còn dưới $1$ điểm phần trăm.
(a) $\operatorname{tr}T=0{,}85+0{,}70=1{,}55$ và $\det T=0{,}85(0{,}70)-0{,}30(0{,}15)=0{,}595-0{,}045=0{,}55$, nên
$$\lambda^{2}-1{,}55\lambda+0{,}55=0\;\Rightarrow\;(\lambda-1)(\lambda-0{,}55)=0$$$$\lambda_{1}=1,\qquad \lambda_{2}=0{,}55$$(b) Viết $s_{0}$ thành tổng của vectơ riêng ứng với $\lambda_{1}=1$ (chính là trạng thái dừng $s^{*}$) và một phần theo vectơ riêng ứng với $\lambda_{2}$. Nhân với $T$ giữ nguyên phần thứ nhất và nhân phần thứ hai với $0{,}55$, nên
$$s_{n}-s^{*}=(0{,}55)^{n}\,(s_{0}-s^{*})$$Kiểm bằng số liệu của ví dụ trước: $0{,}400-0{,}667=-0{,}267$; nhân $0{,}55$ cho $-0{,}147$, và $0{,}667-0{,}147=0{,}520$ — đúng con số tuần thứ nhất. Nhân tiếp cho $-0{,}081$ và $0{,}586$, rồi $-0{,}044$ và $0{,}622$.
Muốn khoảng cách dưới $0{,}01$:
$$0{,}267(0{,}55)^{n}<0{,}01\;\Rightarrow\;(0{,}55)^{n}<0{,}0375\;\Rightarrow\;n>\frac{\ln 0{,}0375}{\ln 0{,}55}=5{,}50$$Vậy từ tuần thứ $6$ trở đi. Ý nghĩa thực tế: chỉ cần khoảng một tháng rưỡi là cơ cấu đi lại coi như đã ổn định, bất kể xuất phát từ đâu — và đó là loại kết luận mà câu “comment on your answer” của IB đang chờ.
Bẫy thứ hai: tưởng trạng thái dừng phụ thuộc điểm xuất phát. Với ma trận chuyển có mọi phần tử dương, trạng thái dừng là duy nhất và mọi $s_{0}$ đều dẫn về đó. Cái phụ thuộc $s_{0}$ chỉ là thời gian đi tới, không phải đích đến.
Bẫy thứ ba: quên chuẩn hoá vectơ riêng. Máy tính trả về một vectơ riêng bất kỳ, chẳng hạn $\begin{pmatrix}0{,}894\\0{,}447\end{pmatrix}$. Đó chưa phải trạng thái dừng: phải chia cho tổng $1{,}341$ để được $\begin{pmatrix}0{,}667\\0{,}333\end{pmatrix}$. Bỏ bước chia thì hai con số vẫn đúng tỉ lệ nhưng không còn là tỉ lệ phần trăm nữa.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Number and Algebra gồm 14 câu trắc nghiệm và 6 đề tự luận, ra khó hơn đề thật 30–50%. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.