Mục lục bài họcĐang ở d02-b1
Linear, piecewise and quadratic models
Linear models: read the two numbers
In $y=mx+c$ the gradient $m$ is a rate of change with units — VND per kilometre, degrees per hour — and $c$ is the value when $x=0$. In Applications and Interpretation you are asked to state both with the units of the context, and a bare number scores nothing.
Piecewise models
Tariffs, tax bands and delivery charges are piecewise:
$$C(x)=\begin{cases}1900x,&0\le x\le50\\95\,000+2000(x-50),&50The function is continuous at each boundary: the constant in one branch is exactly the value the previous branch reached. Check continuity before using a piecewise model — if the two branches disagree at the boundary, one of them has been written down wrongly.
Quadratic models
$y=ax^{2}+bx+c$ has its vertex at $x=-\dfrac{b}{2a}$: a maximum when $a<0$ and a minimum when $a>0$. Revenue models arise as $R=p\times q(p)$, and if $q$ is linear in $p$ then $R$ is automatically quadratic.
Every model here has a valid domain set by the data. Extending a fitted line far beyond the observed range is extrapolation, and AI expects you to say so.
Mô hình bậc nhất: đọc cho ra hai con số. Trong $y=mx+c$, hệ số góc $m$ là một tốc độ thay đổi có đơn vị — đồng trên mỗi kilômét, độ trên mỗi giờ — còn $c$ là giá trị khi $x=0$. Đề AI hầu như luôn hỏi “interpret the gradient in context”, và câu trả lời chỉ có con số trần trụi thì không được điểm: phải viết đủ “mỗi kilômét đi thêm làm cước tăng $11\,500$ đồng”.
Mô hình từng khúc (piecewise). Biểu giá điện, bậc thuế, phí giao hàng đều có dạng này:
$$C(x)=\begin{cases}1900x,&0\le x\le50\\95\,000+2000(x-50),&50Hàm này liên tục tại mỗi mốc: hằng số của khúc sau đúng bằng giá trị mà khúc trước vừa đạt tới. Hãy kiểm tính liên tục trước khi dùng — nếu hai khúc cho hai giá trị khác nhau tại mốc thì chắc chắn có một khúc bị viết sai, và đó là cách tự bắt lỗi nhanh nhất ở dạng bài này.
Mô hình bậc hai. $y=ax^{2}+bx+c$ có đỉnh tại $x=-\dfrac{b}{2a}$, là cực đại khi $a<0$ và cực tiểu khi $a>0$. Bài doanh thu sinh ra bậc hai một cách tự nhiên: $R=p\times q(p)$, và nếu lượng bán $q$ là hàm bậc nhất của giá $p$ thì $R$ tự động là bậc hai.
Miền xác định do dữ liệu quyết định. Mọi mô hình ở đây chỉ đáng tin trong khoảng số liệu đã quan sát. Kéo dài đường thẳng khớp được ra ngoài khoảng ấy là extrapolation, và IB luôn dành riêng một ý điểm cho việc học viên tự nói ra điều đó.
Còn một thứ nữa cần đọc ra: đơn giá trung bình luôn nằm giữa đơn giá thấp nhất và đơn giá của bậc đang dùng. Ở $200$ kWh, giá trung bình là $445\,000\div200=2\,225$ đồng mỗi kWh — không trùng với bất kỳ con số nào in trên biểu giá. Đề IB AI rất thích hỏi đúng chỗ chênh nhau giữa giá trung bình và giá của kWh tiếp theo.
Dùng biểu giá điện trong hình: $1\,900$ đồng cho mỗi kWh trong $50$ kWh đầu, $2\,000$ đồng cho mỗi kWh từ $50$ đến $100$, và $2\,500$ đồng cho mỗi kWh vượt $100$.
(a) Tính hoá đơn của hộ dùng $175$ kWh. (b) Một hộ nhận hoá đơn $320\,000$ đồng; tìm số kWh đã dùng. (c) Tính đơn giá trung bình ở câu (b) và giải thích vì sao nó không trùng bậc giá nào.
(a) $175>100$ nên dùng khúc thứ ba:
$$C(175)=195\,000+2\,500(175-100)=195\,000+187\,500=382\,500\ \text{đồng}$$(b) Trước hết xác định bậc. Hai mốc là $C(50)=95\,000$ và $C(100)=195\,000$; vì $320\,000>195\,000$ nên hộ này đang ở bậc ba:
$$320\,000=195\,000+2\,500(x-100)\;\Rightarrow\;x-100=\frac{125\,000}{2\,500}=50\;\Rightarrow\;x=150\ \text{kWh}$$(c) Đơn giá trung bình:
$$\frac{320\,000}{150}=2\,133\ \text{đồng mỗi kWh}$$Con số này không trùng $1\,900$, $2\,000$ hay $2\,500$ vì nó là trung bình có trọng số của cả ba bậc: $50$ kWh tính giá thấp nhất, $50$ kWh tính giá giữa, chỉ $50$ kWh cuối tính giá cao nhất. Đúng bằng $\frac{1\,900+2\,000+2\,500}{3}=2\,133$ trong trường hợp riêng này, vì ba bậc tình cờ có cùng số kWh. Ý nghĩa thực tế cần viết vào bài: dùng thêm một kWh nữa tốn $2\,500$ đồng chứ không tốn $2\,133$ đồng — giá trung bình dùng để nhìn lại quá khứ, còn giá của bậc đang dùng mới là con số dùng để quyết định.
Một quầy bánh mì ghi lại lượng bán ở bốn mức giá khác nhau ($p$ tính bằng nghìn đồng, $q$ là số ổ bán được mỗi ngày).
| $p$ | $10$ | $14$ | $18$ | $22$ |
|---|---|---|---|---|
| $q$ | $180$ | $148$ | $116$ | $84$ |
(a) Tìm mô hình bậc nhất cho $q$ theo $p$. (b) Tìm mức giá cho doanh thu lớn nhất.
(a) Mỗi khi $p$ tăng $4$ nghìn thì $q$ giảm đúng $32$ ổ, nên hệ số góc là $\dfrac{-32}{4}=-8$ và mô hình bậc nhất khớp chính xác cả bốn điểm:
$$q=180-8(p-10)=260-8p$$Ý nghĩa hệ số góc: tăng giá $1$ nghìn đồng thì mất $8$ ổ bán mỗi ngày.
(b) Doanh thu (nghìn đồng mỗi ngày):
$$R=pq=p(260-8p)=260p-8p^{2}$$Đây là parabol quay xuống ($a=-8<0$), đỉnh tại
$$p=-\frac{b}{2a}=-\frac{260}{2(-8)}=16{,}25\ \text{nghìn đồng}$$$$q=260-8(16{,}25)=130\ \text{ổ},\qquad R=16{,}25\times130=2\,112{,}5\ \text{nghìn đồng}$$Bình luận bắt buộc. Giá thực tế thường đặt theo bội số của $1$ nghìn đồng. Ở $p=16$ thì $R=16(132)=2\,112$; ở $p=17$ thì $R=17(124)=2\,108$. Chọn $16$ nghìn chỉ mất $500$ đồng doanh thu mỗi ngày so với mức tối ưu lý thuyết — chênh lệch nhỏ đến mức không đáng đánh đổi lấy một bảng giá lẻ. Đỉnh của một parabol khá “phẳng”, và nhận ra điều đó là một kết luận có giá trị thực tế hơn chính con số $16{,}25$.
Bẫy thứ hai: lẫn giá trung bình với giá của đơn vị tiếp theo. Ở $150$ kWh, giá trung bình là $2\,133$ đồng nhưng dùng thêm một kWh vẫn tốn $2\,500$ đồng. Câu hỏi “nên tiết kiệm điện không” phải trả lời bằng con số thứ hai, không phải con số thứ nhất.
Bẫy thứ ba: kéo dài mô hình ra ngoài khoảng số liệu. Mô hình $q=260-8p$ khớp hoàn hảo trong khoảng giá $10$ đến $22$ nghìn. Ở $p=35$ nó cho $q=-20$ ổ mỗi ngày — một con số vô nghĩa. Mô hình bậc nhất không tự biết mình hết hiệu lực ở đâu; người dùng phải biết thay nó.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Functions gồm 14 câu trắc nghiệm và 6 đề tự luận, ra khó hơn đề thật 30–50%. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.