Mục lục bài họcĐang ở d04-b3
Distributions and hypothesis tests: binomial, normal, chi-squared and t
Binomial
$X\sim B(n,p)$ requires four conditions: a fixed number of trials, two outcomes, constant $p$, and independence. Then $E(X)=np$ and $\text{Var}(X)=np(1-p)$. On the GDC, binompdf gives $P(X=k)$ and binomcdf gives $P(X\le k)$; the distinction between $P(X\ge 5)=1-P(X\le 4)$ and $1-P(X\le 5)$ is a one-character error that changes the answer.
Normal
$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$. Note the notation: the second entry is the variance, so $N(340,25^{2})$ has $\sigma=25$. Inverse normal answers "what value has this proportion below it".
The five steps of a test
Every hypothesis test in AI is marked on the same five steps: state $H_{0}$ and $H_{1}$; state the significance level; compute the statistic and the $p$-value on the GDC; compare $p$ with the level; write a conclusion in context.
Chi-squared
For a test of independence on an $r\times c$ table, $\text{df}=(r-1)(c-1)$, and expected values are $\dfrac{\text{row total}\times\text{column total}}{\text{grand total}}$. For goodness of fit, $\text{df}=(\text{number of categories})-1$ minus one further for each parameter estimated from the data. The test is invalid if any expected frequency is below $5$.
The $t$-test
Used to compare means. A two-tailed $p$-value is exactly twice the one-tailed value for the same data, so a result significant at $5\%$ two-tailed is significant at $2.5\%$ one-tailed.
Rejecting $H_{0}$ never proves $H_{1}$; and failing to reject never proves $H_{0}$.
Phân phối nhị thức. $X\sim B(n,p)$ đòi bốn điều kiện: số phép thử cố định, mỗi phép thử hai kết quả, xác suất $p$ không đổi, và các phép thử độc lập. Khi ấy $E(X)=np$ và $\text{Var}(X)=np(1-p)$, còn độ lệch chuẩn là $\sqrt{np(1-p)}$.
Trên máy, hàm cho $P(X=k)$ khác hàm cho $P(X\le k)$. Chỗ sai nhiều nhất là chuyển “ít nhất $5$” thành công thức: $P(X\ge 5)=1-P(X\le 4)$, không phải $1-P(X\le 5)$. Lệch đúng một đơn vị, mà đáp số lệch hẳn.
Phân phối chuẩn. $X\sim N(\mu,\sigma^{2})$ — ký hiệu này viết phương sai ở vị trí thứ hai, nên $N(340,25^{2})$ có $\sigma=25$. Nếu đề viết $N(340,\,625)$ thì cũng vẫn là $\sigma=25$. Nhầm phương sai với độ lệch chuẩn làm mọi xác suất sai, và nó là bẫy được cài có chủ ý.
Hàm chuẩn ngược trả lời câu “giá trị nào có tỉ lệ này nằm dưới nó”, dùng cho các câu kiểu “điểm chuẩn để lấy $5\%$ cao nhất”.
Năm bước của một kiểm định. Mọi kiểm định trong AI đều chấm theo đúng năm bước: nêu $H_{0}$ và $H_{1}$; nêu mức ý nghĩa; tính thống kê và giá trị $p$ trên máy; so $p$ với mức ý nghĩa; viết kết luận gắn với bối cảnh. Bỏ bước cuối là mất một điểm ở gần như mọi đề — “bác bỏ $H_0$” không phải kết luận, “có bằng chứng cho thấy loại phân bón ảnh hưởng tới năng suất” mới là.
Kiểm định khi bình phương. Với bảng liên hợp $r\times c$, bậc tự do là $(r-1)(c-1)$, và tần số kỳ vọng của mỗi ô bằng $\dfrac{\text{tổng hàng}\times\text{tổng cột}}{\text{tổng chung}}$. Với kiểm định phù hợp, bậc tự do bằng số nhóm trừ $1$, trừ thêm $1$ cho mỗi tham số phải ước lượng từ chính số liệu. Kiểm định không dùng được nếu có ô nào tần số kỳ vọng dưới $5$; khi đó phải gộp nhóm.
Kiểm định $t$. Dùng để so sánh trung bình. Giá trị $p$ hai phía đúng gấp đôi giá trị $p$ một phía trên cùng bộ số liệu, nên kết quả có ý nghĩa ở mức $5\%$ hai phía cũng có ý nghĩa ở mức $2{,}5\%$ một phía.
Điều phải nhớ về logic: bác bỏ $H_{0}$ không chứng minh $H_{1}$, và không bác bỏ được $H_{0}$ càng không chứng minh $H_{0}$ đúng — nó chỉ nói rằng số liệu hiện có chưa đủ mạnh.
Một trường khảo sát $200$ học viên về việc chọn môn Toán và giới tính, thu được bảng sau.
| Nam | Nữ | |
|---|---|---|
| Chọn AA | $38$ | $22$ |
| Chọn AI | $45$ | $35$ |
| Không chọn Toán HL | $17$ | $43$ |
Kiểm định ở mức ý nghĩa $5\%$ xem lựa chọn môn có độc lập với giới tính không.
Bước 1 — giả thuyết.
$H_{0}$: lựa chọn môn độc lập với giới tính. $H_{1}$: lựa chọn môn không độc lập với giới tính.
Bước 2 — mức ý nghĩa và bậc tự do. Mức $5\%$; bảng $3\times 2$ nên
$$\text{df}=(3-1)(2-1)=2$$Bước 3 — tần số kỳ vọng. Tổng hàng lần lượt $60,\ 80,\ 60$; tổng cột đều bằng $100$; tổng chung $200$.
| Kỳ vọng | Nam | Nữ |
|---|---|---|
| AA | $30$ | $30$ |
| AI | $40$ | $40$ |
| Không HL | $30$ | $30$ |
Mọi ô kỳ vọng đều lớn hơn $5$ nên kiểm định dùng được.
$$\chi^{2}=\frac{(38-30)^{2}}{30}+\frac{(22-30)^{2}}{30}+\frac{(45-40)^{2}}{40}+\frac{(35-40)^{2}}{40}+\frac{(17-30)^{2}}{30}+\frac{(43-30)^{2}}{30}$$$$\chi^{2}=2{,}133+2{,}133+0{,}625+0{,}625+5{,}633+5{,}633=16{,}78$$Bước 4 — so sánh. Giá trị tới hạn ở mức $5\%$ với $\text{df}=2$ là $5{,}991$, và $p=0{,}000227$.
$$16{,}78>5{,}991\quad\text{và}\quad 0{,}000227<0{,}05$$Bước 5 — kết luận gắn bối cảnh. Bác bỏ $H_{0}$. Có bằng chứng rất mạnh ở mức $5\%$ cho thấy việc chọn môn Toán không độc lập với giới tính ở trường này.
Đọc thêm từ bảng, và đây là phần đề hay hỏi tiếp: ô đóng góp nhiều nhất vào $\chi^{2}$ là hàng “không chọn Toán HL”, với $5{,}633$ ở mỗi cột. Số nam ở nhóm này là $17$ trong khi kỳ vọng $30$, còn nữ là $43$ so với kỳ vọng $30$. Vậy khác biệt tập trung ở việc bỏ hẳn Toán HL, chứ không phải ở chỗ chọn AA hay AI — hai hàng đầu đóng góp rất ít.
Lưu ý cuối: kết luận này nói về trường này, và cũng chỉ nói có liên hệ chứ không nói giới tính gây ra lựa chọn.
Một dây chuyền đóng gói cho khối lượng gói tuân theo phân phối chuẩn $N(340,\,25^{2})$ gram. Gói bị loại nếu nặng quá $375$ g.
(a) Tính xác suất một gói bị loại. (b) Trong một thùng $15$ gói, tính xác suất có đúng $5$ gói bị loại, biết tỉ lệ loại thực tế của dây chuyền là $0{,}28$. (c) Tìm khối lượng mà $5\%$ số gói nặng hơn nó.
(a) Chuẩn hoá rồi tra, hoặc dùng thẳng hàm phân phối chuẩn trên máy:
$$z=\frac{375-340}{25}=1{,}4\;\Longrightarrow\;P(X>375)=1-0{,}9192=0{,}0808$$Chú ý ký hiệu: $N(340,\,25^{2})$ nghĩa là $\sigma=25$. Ai hiểu $25$ là phương sai sẽ lấy $\sigma=5$, được $z=7$ và xác suất gần như bằng $0$ — sai lệch cỡ mấy nghìn lần mà con số vẫn “hợp lệ”.
(b) Số gói bị loại trong thùng $15$ gói là $Y\sim B(15,\,0{,}28)$:
$$P(Y=5)=\binom{15}{5}(0{,}28)^{5}(0{,}72)^{10}=0{,}193$$Bốn điều kiện nhị thức thoả: $15$ gói là số cố định, mỗi gói hoặc loại hoặc không, tỉ lệ $0{,}28$ không đổi, và các gói độc lập. Nếu đề nói thùng được lấy không hoàn lại từ một lô nhỏ thì điều kiện độc lập vỡ và mô hình nhị thức không dùng được nữa.
Kiểm hợp lý: kỳ vọng là $np=15(0{,}28)=4{,}2$, nên $5$ nằm ngay cạnh giá trị dễ xảy ra nhất, và xác suất khoảng $0{,}19$ là đúng độ lớn đáng chờ đợi.
(c) Cần giá trị $k$ sao cho $P(X>k)=0{,}05$, tức $P(X
Bẫy ở phần này là nhập $0{,}05$ thay vì $0{,}95$ vào hàm chuẩn ngược, cho $298{,}9$ g. Nhận ra ngay bằng lẽ thường: câu hỏi nói “nặng hơn”, nên đáp án phải lớn hơn trung bình $340$ g.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Statistics and Probability gồm 14 câu trắc nghiệm và 6 đề tự luận. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.