Mục lục bài họcĐang ở d05-b1
Differentiation in context: rates of change, tangents and optimisation
The derivative as a rate
In AI the derivative is read as a rate with units. If $C(x)$ is cost in dollars for $x$ units, then $C'(x)$ is dollars per unit; if $V(t)$ is volume in litres at time $t$ minutes, $V'(t)$ is litres per minute. Every answer should carry those units.
$$\frac{d}{dx}x^{n}=nx^{n-1},\qquad \frac{d}{dx}e^{kx}=ke^{kx},\qquad \frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}$$Tangents and normals
At $x=a$ the tangent has gradient $f'(a)$ and passes through the point with height $f(a)$; the normal has gradient $-\dfrac{1}{f'(a)}$. Note that $f(a)$ gives the height and $f'(a)$ the slope: using one for the other is the standard slip.
Optimisation, in five steps
Write the quantity to be optimised; use the constraint to reduce it to one variable; state the valid domain; solve $f'(x)=0$; and justify the nature of the stationary point using the second derivative or a sign table. The domain step is the one candidates skip, and it is where marks are lost.
Second derivative
A positive second derivative at $a$ means a local minimum, a negative one means a local maximum. If it is zero the test says nothing and a sign table for $f'$ is required.
Reading a model
A GDC will find maxima and minima directly, so the marks in AI sit in the modelling: choosing the variable, stating the domain, and saying what the answer means for the person who asked.
Đạo hàm là một tốc độ, và tốc độ luôn có đơn vị. Trong AI, việc đầu tiên khi thấy $f'$ là hỏi “đơn vị của nó là gì”. Nếu $C(x)$ là chi phí tính bằng đô la cho $x$ sản phẩm thì $C'(x)$ có đơn vị đô la trên sản phẩm; nếu $V(t)$ là thể tích tính bằng lít ở phút thứ $t$ thì $V'(t)$ tính bằng lít trên phút. Đáp án không kèm đơn vị thường bị trừ điểm dù con số đúng.
Ba đạo hàm phải thuộc: $\dfrac{d}{dx}x^{n}=nx^{n-1}$, $\dfrac{d}{dx}e^{kx}=ke^{kx}$, $\dfrac{d}{dx}\ln x=\dfrac{1}{x}$. Với AI thì hầu như chỉ cần chừng đó, vì mô hình thường là đa thức hoặc hàm mũ.
Tiếp tuyến và pháp tuyến. Tại $x=a$, tiếp tuyến có hệ số góc $f'(a)$ và đi qua điểm có tung độ $f(a)$; pháp tuyến vuông góc nên có hệ số góc $-\dfrac{1}{f'(a)}$. Nhớ cho kỹ: $f(a)$ cho độ cao, $f'(a)$ cho độ dốc — dùng nhầm cái này thay cái kia là lỗi kinh điển, và phương trình thu được vẫn là một đường thẳng trông hợp lý.
Bài toán tối ưu, năm bước. Viết đại lượng cần tối ưu; dùng ràng buộc để đưa về một biến; nêu miền giá trị hợp lệ; giải $f'(x)=0$; và chứng minh bản chất điểm dừng bằng đạo hàm cấp hai hoặc bảng xét dấu. Bước nêu miền là bước hay bị bỏ nhất, mà nó lại thường là bước loại nghiệm ngoại lai — cắt góc dài $16{,}7$ cm ra khỏi tấm bìa rộng $25$ cm là chuyện vô lý, và chỉ có miền mới loại được nó.
Đạo hàm cấp hai. Giá trị dương tại $a$ cho cực tiểu, giá trị âm cho cực đại. Nếu nó bằng $0$ thì phép thử không kết luận được và phải lập bảng xét dấu $f'$.
Điều cần hiểu về vai trò của máy tính. Máy tính đồ thị tìm cực trị trực tiếp, nên điểm số của AI không nằm ở việc giải phương trình $f'(x)=0$. Nó nằm ở phần mô hình hoá: chọn biến, viết được hàm, nêu miền, và nói kết quả ấy nghĩa là gì với người đặt câu hỏi.
Một tấm bìa hình chữ nhật $40$ cm $\times$ $25$ cm được cắt bỏ bốn hình vuông cạnh $x$ cm ở bốn góc, rồi gấp lên thành một hộp không nắp.
Lập biểu thức thể tích theo $x$, nêu miền giá trị hợp lệ, và tìm $x$ cho thể tích lớn nhất.
Bước 1 — dựng hàm. Sau khi gấp, chiều cao là $x$, hai kích thước đáy là $40-2x$ và $25-2x$:
$$V(x)=x(40-2x)(25-2x)=4x^{3}-130x^{2}+1000x$$Bước 2 — miền hợp lệ. Cần $x>0$ và cả hai kích thước đáy dương, tức $25-2x>0$:
$$0Bước 3 — điểm dừng.
$$V'(x)=12x^{2}-260x+1000=4(3x^{2}-65x+250)=0$$$$x=\frac{65\pm\sqrt{65^{2}-4(3)(250)}}{6}=\frac{65\pm\sqrt{1225}}{6}=\frac{65\pm 35}{6}$$$$x=5\quad\text{hoặc}\quad x=16{,}7$$Nghiệm $16{,}7$ bị loại vì nằm ngoài miền: không thể cắt góc rộng $16{,}7$ cm từ một tấm chỉ rộng $25$ cm — cắt xong thì hai mép đã chồng lên nhau.
Bước 4 — chứng minh đó là cực đại. Đạo hàm cấp hai là $24x-260$, và tại $x=5$ nó bằng $120-260=-140<0$, nên $x=5$ cho cực đại.
$$V(5)=5(30)(15)=2250\ \text{cm}^{3}$$Kiểm bằng hai giá trị lân cận: $V(4)=4(32)(17)=2176$ và $V(6)=6(28)(13)=2184$, cả hai đều nhỏ hơn $2250$. Phép thử này mất mười giây và bắt được cả lỗi đạo hàm lẫn lỗi giải phương trình.
Số người dùng của một ứng dụng được mô hình hoá bởi $N(t)=2400e^{0{,}08t}$, trong đó $t$ là số tháng kể từ khi ra mắt.
Tính $N(10)$ và $N'(10)$, giải thích ý nghĩa của từng số kèm đơn vị, và tìm tháng mà số người dùng tăng $600$ người mỗi tháng.
Bước 1 — giá trị và tốc độ.
$$N(10)=2400e^{0{,}8}=2400(2{,}2255)=5341\ \text{người dùng}$$$$N'(t)=2400(0{,}08)e^{0{,}08t}=192e^{0{,}08t}\;\Longrightarrow\;N'(10)=192(2{,}2255)=427\ \text{người dùng/tháng}$$Bước 2 — diễn giải, và đây là phần được điểm. Sau $10$ tháng, ứng dụng có khoảng $5341$ người dùng, và tại thời điểm đó số người dùng đang tăng với tốc độ khoảng $427$ người mỗi tháng.
Hai đại lượng này khác nhau về bản chất chứ không chỉ về con số: $N(10)$ là một lượng, $N'(10)$ là một tốc độ. Đơn vị nói rõ điều đó — “người dùng” so với “người dùng trên tháng”.
Bước 3 — giải ngược.
$$192e^{0{,}08t}=600\;\Longrightarrow\;e^{0{,}08t}=3{,}125\;\Longrightarrow\;0{,}08t=\ln 3{,}125=1{,}1394$$$$t=14{,}2\ \text{tháng}$$Một quan sát đáng nhớ về mô hình mũ: ở đây $N'(t)=0{,}08\,N(t)$ đúng với mọi $t$. Tốc độ tăng luôn tỉ lệ thuận với quy mô hiện có — đó chính là định nghĩa của tăng trưởng mũ, và cũng là lý do mô hình này không thể đúng mãi. Ở $t=60$ nó dự báo $2400e^{4{,}8}=290\,000$ người dùng với tốc độ tăng $23\,000$ người mỗi tháng, con số mà không thị trường hữu hạn nào chịu được. Đó là lúc phải chuyển sang mô hình logistic.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Calculus gồm 14 câu trắc nghiệm và 6 đề tự luận. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.