Mục lục bài họcĐang ở d03-b1
Exponential Growth, Logistic Growth and Carrying Capacity
Two growth models, one difference
Exponential growth happens when resources are effectively unlimited. Each individual added contributes the same per-capita rate, so the absolute increase gets larger every year and the graph is a J-shaped curve with no ceiling:
$$\frac{dN}{dt} = rN$$Here $N$ is population size and $r$ is the intrinsic rate of increase (per capita, per unit time). Note that $r$ is a decimal, not a percentage: a growth rate of 2.0% per year means $r = 0.02$.
Logistic growth and $K$
Real populations run into limits. Carrying capacity ($K$) is the maximum population size an environment can sustain indefinitely, set by the scarcest resource — food, water, nesting sites, or waste-removal capacity. The logistic model adds a braking term:
$$\frac{dN}{dt} = rN\frac{(K-N)}{K}$$When $N$ is tiny, $(K-N)/K \approx 1$ and growth is nearly exponential. When $N$ approaches $K$, the term approaches zero and growth stops. The result is an S-shaped (sigmoid) curve. Growth in absolute numbers is fastest at $N = K/2$, an exam favourite.
Overshoot and die-off
Populations can temporarily exceed $K$ because of a reproductive time lag. The excess degrades the resource base, so the crash brings the population below the original $K$. Density-dependent limits (disease, competition, predation) strengthen as $N$ rises; density-independent limits (drought, fire, hurricane) hit regardless of $N$.
Hai mô hình, khác nhau ở đúng một chỗ
Tăng trưởng mũ xảy ra khi tài nguyên coi như vô hạn. Mỗi cá thể thêm vào đều đóng góp cùng một tốc độ trên đầu cá thể, nên số tăng tuyệt đối mỗi năm một lớn hơn, và đồ thị là đường cong chữ J không có trần:
$$\frac{dN}{dt} = rN$$Trong đó $N$ là kích thước quần thể, $r$ là tốc độ tăng nội tại tính trên đầu cá thể. Nhớ kỹ: $r$ viết dưới dạng số thập phân, không phải phần trăm. Tăng 2,0% mỗi năm nghĩa là $r = 0{,}02$.
Tăng trưởng logistic và $K$
Quần thể thật luôn đụng trần. Sức chịu tải $K$ là số cá thể lớn nhất mà môi trường nuôi được lâu dài, do tài nguyên khan hiếm nhất quyết định — thức ăn, nước, chỗ làm tổ, hay khả năng tiêu hoá chất thải. Mô hình logistic thêm một số hạng phanh:
$$\frac{dN}{dt} = rN\frac{(K-N)}{K}$$Khi $N$ còn rất nhỏ, $(K-N)/K \approx 1$ nên đường cong gần như mũ. Khi $N$ tiến tới $K$, số hạng này tiến về $0$ và tăng trưởng dừng. Kết quả là đường cong chữ S. Điểm quan trọng hay ra đề: tốc độ tăng tuyệt đối lớn nhất không phải ở $N$ nhỏ nhất cũng không phải ở $N=K$, mà ở $N = K/2$.
Vượt ngưỡng và sụp đổ
Quần thể có thể tạm vượt qua $K$ vì độ trễ sinh sản — thế hệ con đã được sinh ra trước khi tín hiệu thiếu tài nguyên kịp tác động. Phần vượt đó phá huỷ chính nền tài nguyên, nên cú sụp kéo quần thể xuống thấp hơn $K$ ban đầu.
Phân biệt hai loại yếu tố giới hạn: phụ thuộc mật độ (dịch bệnh, cạnh tranh, vật ăn thịt) mạnh dần khi $N$ tăng; không phụ thuộc mật độ (hạn hán, cháy rừng, bão) tác động bất kể $N$ lớn hay nhỏ.
Một quần thể cá có $K = 8000$ và $r = 0{,}6$ mỗi năm. Tính $dN/dt$ khi $N = 1000$, khi $N = 4000$ và khi $N = 7000$. Từ ba con số đó, rút ra nhận xét về chỗ nào quần thể phục hồi nhanh nhất.
Dùng $\dfrac{dN}{dt} = rN\dfrac{(K-N)}{K}$ cho từng mức.
Khi $N = 1000$:
$$0{,}6 \times 1000 \times \frac{8000-1000}{8000} = 600 \times 0{,}875 = 525$$Khi $N = 4000$ (đúng bằng $K/2$):
$$0{,}6 \times 4000 \times \frac{8000-4000}{8000} = 2400 \times 0{,}5 = 1200$$Khi $N = 7000$:
$$0{,}6 \times 7000 \times \frac{8000-7000}{8000} = 4200 \times 0{,}125 = 525$$Nhận xét. Hai đầu cho cùng một con số $525$, còn giữa cho $1200$ — gấp hơn hai lần. Ở $N$ nhỏ, tỉ lệ $(K-N)/K$ rất thuận lợi nhưng số cá thể sinh sản quá ít. Ở $N$ lớn, cá thể sinh sản thì đông nhưng tài nguyên đã cạn nên phanh siết chặt. Chỉ ở $K/2$ hai yếu tố cùng ở mức khá.
Hệ quả quản lý: đàn cá bị đánh bắt xuống rất thấp phục hồi chậm, chứ không phải nhanh như trực giác mách. Đó là lý do nghề cá bền vững giữ trữ lượng quanh $K/2$ chứ không vắt kiệt rồi chờ hồi.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Unit 3 — Populations gồm 14 câu trắc nghiệm và 4 đề tự luận. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.