Mục lục bài họcĐang ở d10-b2
Integration and areas
Reversing the power rule
$\displaystyle\int ax^n dx=\dfrac{ax^{n+1}}{n+1}+c$ for $n\ne -1$. The exception is $\displaystyle\int\dfrac1x dx=\ln|x|+c$.
Finding $c$
An indefinite integral is a family of curves. One point on the curve pins down $c$: if $\frac{dy}{dx}=6x$ and the curve passes through $(1,5)$, then $y=3x^2+c$ and $5=3+c$, so $c=2$.
Definite integrals and area
$\displaystyle\int_a^b f(x)dx=[F(x)]_a^b=F(b)-F(a)$ gives the area between the curve and the $x$-axis, counting area below the axis as negative.
Area between two curves: integrate (upper $-$ lower) between the $x$-coordinates of the intersections.
Kinematics
Displacement $\to$ velocity $\to$ acceleration by differentiating; go back by integrating, using the initial condition to find $c$.
Đảo ngược quy tắc luỹ thừa
$\displaystyle\int ax^n dx=\dfrac{ax^{n+1}}{n+1}+c$ với $n\ne -1$. Trường hợp ngoại lệ là $\displaystyle\int\dfrac1x dx=\ln|x|+c$ — quy tắc luỹ thừa không dùng được vì sẽ chia cho $0$.
Tìm hằng số $c$
Nguyên hàm bất định là một họ đường cong. Một điểm trên đồ thị sẽ chốt $c$: nếu $\frac{dy}{dx}=6x$ và đồ thị qua $(1,5)$ thì $y=3x^2+c$ và $5=3+c$, nên $c=2$.
Tích phân xác định và diện tích
$\displaystyle\int_a^b f(x)dx=[F(x)]_a^b=F(b)-F(a)$ cho diện tích giữa đường cong và trục hoành, phần nằm dưới trục tính là âm.
Diện tích giữa hai đường: tích phân (đường trên $-$ đường dưới) trong khoảng hoành độ hai giao điểm.
Chuyển động
Quãng đường $\to$ vận tốc $\to$ gia tốc bằng đạo hàm; đi ngược lại bằng tích phân, dùng điều kiện ban đầu để tìm $c$.
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong $y=x^2$ và đường thẳng $y=x+2$.
Bước 1 — tìm giao điểm. $x^2=x+2$, tức $x^2-x-2=0$ và $(x-2)(x+1)=0$, cho $x=-1$ và $x=2$. Đó là hai cận tích phân.
Bước 2 — xác định đường nào ở trên. Thử $x=0$: đường thẳng cho $2$, parabol cho $0$, nên đường thẳng nằm trên trong khoảng này.
Bước 3 — tích phân hiệu. $\displaystyle\int_{-1}^{2}\left[(x+2)-x^2\right]dx=\left[\dfrac{x^2}{2}+2x-\dfrac{x^3}{3}\right]_{-1}^{2}$.
Tại $x=2$: $2+4-\dfrac83=\dfrac{10}{3}$. Tại $x=-1$: $\dfrac12-2+\dfrac13=-\dfrac76$.
Bước 4 — trừ. $\dfrac{10}{3}-\left(-\dfrac76\right)=\dfrac{20}{6}+\dfrac76=\dfrac{27}{6}=4{,}5$.
Nếu bỏ qua bước 2 và lấy (parabol $-$ đường thẳng) thì kết quả ra $-4{,}5$ — dấu âm chính là lời nhắc đã lấy ngược.
Bẫy: quên $+c$ rồi quên luôn việc tìm nó. Đề dạng ‘cho $\frac{dy}{dx}$ và một điểm, tìm phương trình đường cong’ luôn chấm riêng bước thay điểm để tính $c$. Tích phân đúng mà dừng ở $y=3x^2$ thì mất trọn phần điểm cuối.
Tăng số mũ rồi chia · $\dfrac1x$ là ngoại lệ cho $\ln|x|$ · bất định thì phải có $c$ và phải tìm $c$ · diện tích thì lấy trên trừ dưới, tìm cận bằng giao điểm.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Differentiation and integration gồm 6 câu trắc nghiệm và 1 đề tự luận. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.