Mục lục bài họcĐang ở d02-b2
Exponential growth and decay
The model
$A=A_0e^{kt}$ or $A=A_0b^{t}$. Here $A_0$ is the value at $t=0$, since $e^0=1$.
- $k>0$: growth · $k\lt 0$: decay
- Halving every $T$: $A=A_0(0.5)^{t/T}$ — the exponent counts how many halvings have happened
The graph of $y=e^x$ and $y=\ln x$
They are inverses, so their graphs are reflections in $y=x$. $e^x$ is always positive and never crosses the $x$-axis; $\ln x$ is only defined for $x>0$ and crosses the $x$-axis at $x=1$.
Solving for time
To find when a quantity reaches a given value, isolate the exponential then take $\ln$:
$500e^{0.1t}=800 \Rightarrow e^{0.1t}=1.6 \Rightarrow 0.1t=\ln 1.6 \Rightarrow t=10\ln1.6\approx4.7$
Mô hình
$A=A_0e^{kt}$ hoặc $A=A_0b^{t}$. Ở đây $A_0$ là giá trị tại $t=0$, vì $e^0=1$.
- $k>0$: tăng · $k\lt 0$: giảm
- Cứ $T$ đơn vị lại giảm một nửa: $A=A_0(0{,}5)^{t/T}$ — số mũ đếm đã qua bao nhiêu lần bán rã, nên là $\dfrac{t}{T}$ chứ không phải $Tt$
Đồ thị $y=e^x$ và $y=\ln x$
Hai hàm ngược nhau nên đồ thị đối xứng qua $y=x$. $e^x$ luôn dương và không bao giờ cắt trục hoành; $\ln x$ chỉ xác định với $x>0$ và cắt trục hoành tại $x=1$.
Giải để tìm thời gian
Muốn biết khi nào đạt một giá trị, tách riêng phần mũ rồi lấy $\ln$:
$500e^{0{,}1t}=800 \Rightarrow e^{0{,}1t}=1{,}6 \Rightarrow 0{,}1t=\ln 1{,}6 \Rightarrow t=10\ln1{,}6\approx4{,}7$
Một chất phóng xạ có chu kỳ bán rã $12$ năm. Khối lượng ban đầu là $80$ g. (a) Viết mô hình. (b) Còn lại bao nhiêu sau $30$ năm? (c) Sau bao lâu còn $10$ g?
(a) Cứ $12$ năm nhân với $0{,}5$, nên $A=80(0{,}5)^{t/12}$. Số mũ là $\dfrac{t}{12}$ vì nó đếm số lần bán rã đã trôi qua.
(b) Thay $t=30$: $A=80(0{,}5)^{30/12}=80(0{,}5)^{2{,}5}\approx80\times0{,}1768\approx14{,}1$ g.
(c) Đặt $80(0{,}5)^{t/12}=10$, chia hai vế cho $80$: $(0{,}5)^{t/12}=0{,}125=\dfrac18$. Nhận ra $\dfrac18=(0{,}5)^3$ nên $\dfrac{t}{12}=3$ và $t=36$ năm.
Kiểm bằng lập luận: $80\to40\to20\to10$ là ba lần bán rã, mỗi lần $12$ năm, tổng $36$ năm ✓. Khi con số đẹp thì lập luận này nhanh hơn dùng lôgarit.
Bẫy: đặt sai số mũ trong mô hình bán rã. Viết $A=A_0(0{,}5)^{12t}$ là hiểu ngược đơn vị: nó có nghĩa mỗi năm giảm mười hai lần bán rã. Cứ tự hỏi ‘sau đúng một chu kỳ, số mũ có bằng $1$ không?’ — thay $t=T$ vào $\dfrac{t}{T}$ ra $1$ ✓.
$A_0$ là giá trị ban đầu · số mũ đếm số chu kỳ đã qua · tách phần mũ rồi mới lấy $\ln$ · con số đẹp thì đếm số lần nhân đôi/giảm nửa cho nhanh.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Logarithmic and exponential functions gồm 6 câu trắc nghiệm và 1 đề tự luận. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.