Mục lục bài họcĐang ở d02-b1
Laws of logarithms
Definition
$\log_a b=c \iff a^c=b$, for $a>0$, $a\ne1$, $b>0$.
Three laws
- $\log(xy)=\log x+\log y$
- $\log\dfrac{x}{y}=\log x-\log y$
- $\log x^n=n\log x$
Note what they do not say: $\log(x+y)$ cannot be split at all.
Special values
$\log_a 1=0$ · $\log_a a=1$ · $\log_a a^n=n$ · $a^{\log_a x}=x$
Solving exponential equations
Same base? Compare the powers: $5^{2x-1}=125=5^3$ gives $2x-1=3$.
Different bases? Take logs of both sides: $2^x=20$ gives $x=\dfrac{\log 20}{\log 2}\approx 4.32$.
Straightening a curve
For $y=ab^x$, taking logs gives $\log y=\log a+x\log b$ — a straight line of $\log y$ against $x$ with gradient $\log b$ and intercept $\log a$.
Định nghĩa
$\log_a b=c \iff a^c=b$, với $a>0$, $a\ne1$, $b>0$.
Ba quy tắc
- $\log(xy)=\log x+\log y$
- $\log\dfrac{x}{y}=\log x-\log y$
- $\log x^n=n\log x$
Chú ý điều chúng không nói: $\log(x+y)$ không tách được thành gì cả.
Giá trị đặc biệt
$\log_a 1=0$ · $\log_a a=1$ · $\log_a a^n=n$ · $a^{\log_a x}=x$
Giải phương trình mũ
Cùng cơ số? So sánh số mũ: $5^{2x-1}=125=5^3$ cho $2x-1=3$.
Khác cơ số? Lấy lôgarit hai vế: $2^x=20$ cho $x=\dfrac{\log 20}{\log 2}\approx 4{,}32$.
Làm thẳng một đường cong
Với $y=ab^x$, lấy $\log$ được $\log y=\log a+x\log b$ — đường thẳng của $\log y$ theo $x$, hệ số góc $\log b$, tung độ gốc $\log a$. Đây là dạng bài luôn có trong đề.
Giải phương trình $\log_2 x+\log_2(x-2)=3$, nêu rõ vì sao phải loại một trong hai nghiệm tìm được.
Bước 1 — gộp vế trái. Tổng hai lôgarit thành lôgarit của tích: $\log_2[x(x-2)]=3$.
Bước 2 — bỏ lôgarit. Theo định nghĩa: $x(x-2)=2^3=8$.
Bước 3 — giải phương trình bậc hai. $x^2-2x-8=0$, tức $(x-4)(x+2)=0$, cho $x=4$ hoặc $x=-2$.
Bước 4 — kiểm miền xác định. Đây là bước quyết định. Với $x=-2$ thì $\log_2(-2)$ không xác định, nên loại. Chỉ còn $x=4$.
Thử lại: $\log_2 4+\log_2 2=2+1=3$ ✓. Bất kỳ phương trình lôgarit nào cũng phải qua bước 4 — đề luôn cài sẵn một nghiệm ngoại lai.
Bẫy: tách $\log(x+y)$. Không có quy tắc nào cho tổng bên trong lôgarit. $\log(3+4)=\log 7$, không phải $\log3+\log4=\log12$. Quy tắc cộng lôgarit áp cho tích, không phải tổng.
Nhớ định nghĩa là gỡ được nửa chương · cộng lôgarit là nhân bên trong · luôn kiểm miền xác định · khác cơ số thì lấy $\log$ hai vế.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Logarithmic and exponential functions gồm 6 câu trắc nghiệm và 1 đề tự luận. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.