Mục lục bài họcĐang ở d05-b2
Roots, symmetry and transformations
Sum and product of roots
If $\alpha,\beta$ are roots of $ax^2+bx+c=0$ then $\alpha+\beta=-\dfrac{b}{a}$ and $\alpha\beta=\dfrac{c}{a}$. This answers many questions without solving the equation.
Axis of symmetry
It lies halfway between the roots, at $x=-\dfrac{b}{2a}$. For $y=(x-1)(x-5)$ the axis is $x=3$ — read straight off the roots.
Transformations of $y=f(x)$
- $y=f(x-a)$: translation $a$ to the right (sign inside is opposite to the direction)
- $y=f(x)+b$: translation $b$ up
- $y=kf(x)$: stretch by factor $k$ parallel to the $y$-axis
- $y=-f(x)$: reflection in the $x$-axis
Tổng và tích hai nghiệm
Nếu $\alpha,\beta$ là nghiệm của $ax^2+bx+c=0$ thì $\alpha+\beta=-\dfrac{b}{a}$ và $\alpha\beta=\dfrac{c}{a}$. Nhiều câu hỏi giải được ngay bằng hai công thức này mà không cần tìm nghiệm.
Trục đối xứng
Nằm chính giữa hai nghiệm, tại $x=-\dfrac{b}{2a}$. Với $y=(x-1)(x-5)$ thì trục là $x=3$ — đọc thẳng từ hai nghiệm, khỏi khai triển.
Phép biến đổi đồ thị $y=f(x)$
- $y=f(x-a)$: tịnh tiến sang phải $a$ (dấu bên trong ngược chiều với hướng dịch)
- $y=f(x)+b$: tịnh tiến lên $b$
- $y=kf(x)$: co giãn hệ số $k$ theo phương trục tung
- $y=-f(x)$: đối xứng qua trục hoành
Cho $\alpha$ và $\beta$ là nghiệm của $2x^2-7x+3=0$. Tính $\alpha^2+\beta^2$ mà không giải phương trình.
Bước 1 — đọc hai đại lượng cơ bản. $\alpha+\beta=\dfrac{7}{2}$ và $\alpha\beta=\dfrac{3}{2}$.
Bước 2 — dùng hằng đẳng thức. $\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta$.
Bước 3 — thay số. $\left(\dfrac72\right)^2-2\left(\dfrac32\right)=\dfrac{49}{4}-3=\dfrac{37}{4}$.
Cách này nhanh hơn nhiều so với giải nghiệm rồi bình phương, và không sinh sai số làm tròn. Hằng đẳng thức cần thuộc thêm: $\dfrac1\alpha+\dfrac1\beta=\dfrac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}$.
Bẫy: dấu của tổng nghiệm. Công thức là $-\dfrac{b}{a}$ chứ không phải $\dfrac{b}{a}$. Với $2x^2-7x+3=0$ thì $b=-7$, nên tổng là $-\dfrac{-7}{2}=+\dfrac72$ — hai lần đổi dấu, rất dễ nhầm một lần.
Tổng $=-\dfrac ba$, tích $=\dfrac ca$ · trục đối xứng nằm giữa hai nghiệm · dấu trong ngoặc của phép tịnh tiến luôn ngược chiều với hướng dịch.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Quadratic functions gồm 6 câu trắc nghiệm và 1 đề tự luận. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.