Mục lục bài họcĐang ở d06-b2
Factor and remainder theorems
Remainder theorem
The remainder when $P(x)$ is divided by $(x-a)$ is simply $P(a)$. No long division needed.
Dividing $x^3-2x+5$ by $x-1$: remainder $=P(1)=1-2+5=4$.
Factor theorem
$(x-a)$ is a factor of $P(x)$ if and only if $P(a)=0$. For a divisor $(x+2)$, test $x=-2$ — the sign flips.
Using it to factorise a cubic
- Try small values $\pm1,\pm2,\pm3$ (factors of the constant term) until $P(a)=0$.
- Divide out that factor to get a quadratic.
- Factorise the quadratic normally.
Useful identities
$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ · $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ · $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
Định lý số dư
Số dư khi chia $P(x)$ cho $(x-a)$ chính là $P(a)$ — không cần chia đa thức.
Chia $x^3-2x+5$ cho $x-1$: dư $=P(1)=1-2+5=4$.
Định lý nhân tử
$(x-a)$ là nhân tử của $P(x)$ khi và chỉ khi $P(a)=0$. Với ước $(x+2)$ thì phải thử $x=-2$ — dấu đổi ngược.
Dùng để phân tích đa thức bậc ba
- Thử các giá trị nhỏ $\pm1,\pm2,\pm3$ (ước của hạng tử tự do) cho tới khi $P(a)=0$.
- Chia đa thức cho nhân tử vừa tìm để còn tam thức bậc hai.
- Phân tích tam thức như bình thường.
Hằng đẳng thức cần thuộc
$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ · $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ · $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
Phân tích $P(x)=x^3-4x^2+x+6$ thành nhân tử.
Bước 1 — thử nghiệm. Ước của $6$ là $\pm1,\pm2,\pm3,\pm6$. Thử $x=-1$: $-1-4-1+6=0$ ✓. Vậy $(x+1)$ là một nhân tử.
Bước 2 — chia. Chia $P(x)$ cho $(x+1)$ được thương $x^2-5x+6$.
Bước 3 — phân tích tiếp. $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$.
Kết quả: $P(x)=(x+1)(x-2)(x-3)$.
Kiểm. Nhân ba hạng tử tự do: $1\times(-2)\times(-3)=6$ ✓ khớp với hằng số của $P$. Đây là phép thử nhanh nhất và bắt được hầu hết lỗi dấu.
Bẫy: thử sai dấu. Với ước $(x+2)$ phải thay $x=\mathbf{-2}$, không phải $x=2$. Quy tắc: cho biểu thức trong ngoặc bằng $0$ rồi giải ra giá trị cần thay.
Dư $=P(a)$ · nhân tử khi $P(a)=0$ · thử ước của hạng tử tự do · phân tích xong nhớ nhân ngược lại để kiểm.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Indices, surds and polynomials gồm 6 câu trắc nghiệm và 1 đề tự luận. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.