Mục lục bài họcĐang ở d04-b1
Domain, range and composite functions
Domain and range
The domain is the set of inputs allowed; the range is the set of outputs produced. Restrictions come from three places: division by zero, square roots of negatives, and logs of non-positives.
For $f(x)=x^2-4x+7$ with $x\ge2$: completing the square gives $(x-2)^2+3$, so the range is $f(x)\ge3$.
Composite functions
$fg(x)$ means $f(g(x))$ — apply $g$ first. The order is not interchangeable: with $f(x)=x^2$ and $g(x)=x+1$, $fg(2)=f(3)=9$ but $gf(2)=g(4)=5$.
Modulus
$|A|=k$ (with $k>0$) always gives two branches: $A=k$ and $A=-k$. The graph of $y=|f(x)|$ reflects any part below the $x$-axis upwards.
Miền xác định và tập giá trị
Miền xác định là tập đầu vào được phép; tập giá trị là tập đầu ra thu được. Hạn chế đến từ ba chỗ: chia cho $0$, căn bậc chẵn của số âm, và lôgarit của số không dương.
Với $f(x)=x^2-4x+7$ và $x\ge2$: hoàn chỉnh bình phương cho $(x-2)^2+3$, nên tập giá trị là $f(x)\ge3$.
Hàm hợp
$fg(x)$ nghĩa là $f(g(x))$ — làm $g$ trước. Thứ tự không đổi chỗ được: với $f(x)=x^2$ và $g(x)=x+1$ thì $fg(2)=f(3)=9$ nhưng $gf(2)=g(4)=5$.
Trị tuyệt đối
$|A|=k$ (với $k>0$) luôn cho hai nhánh: $A=k$ và $A=-k$. Đồ thị $y=|f(x)|$ lật phần nằm dưới trục hoành lên trên.
Cho $f(x)=(x-1)^2+4$ với $x\ge1$. Tìm tập giá trị của $f$, rồi nêu miền xác định của $f^{-1}$.
Bước 1 — tập giá trị của $f$. Với $x\ge1$ thì $(x-1)^2\ge0$, nên $f(x)\ge4$, đạt bằng tại $x=1$.
Bước 2 — chuyển sang hàm ngược. Miền xác định của $f^{-1}$ chính là tập giá trị của $f$, tức $x\ge4$. Đây là chỗ hay bị hiểu ngược: người ta thường chép lại $x\ge1$.
Bước 3 — vì sao $f^{-1}$ tồn tại. Điều kiện $x\ge1$ cắt bỏ nhánh trái của parabol, làm hàm trở thành một–một. Nếu để $x$ chạy toàn $\mathbb{R}$ thì $f(0)=f(2)=5$ và hàm ngược không tồn tại.
Bản thân hàm ngược: đặt $y=(x-1)^2+4$, giải ra $x=1+\sqrt{y-4}$ (lấy dấu cộng vì $x\ge1$), nên $f^{-1}(x)=1+\sqrt{x-4}$.
Bẫy: đọc ngược hàm hợp. $fg$ đọc từ phải sang trái — hàm sát biến số làm trước. Mẹo: viết hẳn ra $f(g(x))$ trước khi thay số, chỉ mất hai giây mà bỏ hẳn một loại lỗi.
Miền xác định bị chặn bởi chia $0$, căn âm, lôgarit không dương · tập giá trị của $f$ là miền xác định của $f^{-1}$ · $fg$ làm $g$ trước · $|A|=k$ cho hai nhánh.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Functions gồm 6 câu trắc nghiệm và 1 đề tự luận. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.