Mục lục bài họcĐang ở d10-b1
Rules of differentiation
Power rule
$\dfrac{d}{dx}(ax^n)=anx^{n-1}$. Rewrite roots and fractions as powers first: $\dfrac{1}{x^2}=x^{-2}$, $\sqrt{x}=x^{1/2}$.
Chain rule
$\dfrac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))\cdot g'(x)$ — differentiate the outside, then multiply by the derivative of the inside.
$\dfrac{d}{dx}(2x+1)^5=5(2x+1)^4\times 2=10(2x+1)^4$
Product and quotient
$(uv)'=u'v+uv'$ and $\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$. The order of the subtraction in the quotient rule matters.
Standard derivatives
- $\sin kx \to k\cos kx$ · $\cos kx \to -k\sin kx$
- $e^{kx}\to ke^{kx}$ · $\ln x \to \dfrac1x$
Uses
Gradient at a point, tangent and normal, stationary points ($\frac{dy}{dx}=0$), and their nature by the sign of $\frac{d^2y}{dx^2}$.
Quy tắc luỹ thừa
$\dfrac{d}{dx}(ax^n)=anx^{n-1}$. Viết lại căn và phân thức thành luỹ thừa trước: $\dfrac{1}{x^2}=x^{-2}$, $\sqrt{x}=x^{1/2}$.
Quy tắc hàm hợp
$\dfrac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))\cdot g'(x)$ — đạo hàm hàm ngoài, rồi nhân với đạo hàm hàm trong.
$\dfrac{d}{dx}(2x+1)^5=5(2x+1)^4\times 2=10(2x+1)^4$
Tích và thương
$(uv)'=u'v+uv'$ và $\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$. Thứ tự phép trừ ở quy tắc thương là bắt buộc, đảo lại là sai dấu.
Đạo hàm cần thuộc
- $\sin kx \to k\cos kx$ · $\cos kx \to -k\sin kx$
- $e^{kx}\to ke^{kx}$ · $\ln x \to \dfrac1x$
Dùng để làm gì
Tính hệ số góc tại một điểm, viết tiếp tuyến và pháp tuyến, tìm điểm dừng ($\frac{dy}{dx}=0$) và xét loại điểm dừng bằng dấu của $\frac{d^2y}{dx^2}$.
Cho đường cong $y=x^3-4x+1$. Viết phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến tại điểm có hoành độ $x=2$.
Bước 1 — tìm điểm. $y(2)=8-8+1=1$, nên điểm là $(2,1)$. Nhiều bài mất điểm chỉ vì bỏ qua bước này.
Bước 2 — tìm hệ số góc. $\dfrac{dy}{dx}=3x^2-4$, tại $x=2$ được $12-4=8$. Đây là hệ số góc tiếp tuyến, không phải giá trị hàm số.
Bước 3 — tiếp tuyến. $y-1=8(x-2)$, tức $y=8x-15$.
Bước 4 — pháp tuyến. Vuông góc nên hệ số góc là $-\dfrac18$: $y-1=-\dfrac18(x-2)$, tức $y=-\dfrac18x+\dfrac54$.
Nhớ: hệ số góc pháp tuyến là nghịch đảo và đổi dấu, chỉ đổi dấu thôi là chưa đủ.
Bẫy: quên nhân đạo hàm hàm trong. Đạo hàm của $(3x-2)^4$ là $4(3x-2)^3\times\mathbf{3}=12(3x-2)^3$, không phải $4(3x-2)^3$. Tương tự $\sin 5x$ cho $5\cos5x$ chứ không phải $\cos5x$. Cứ thấy có ‘hàm bên trong’ là phải nhân thêm một lần.
Viết lại thành luỹ thừa trước khi đạo hàm · hàm hợp thì nhân thêm đạo hàm bên trong · tiếp tuyến cần cả điểm lẫn hệ số góc · pháp tuyến là nghịch đảo đổi dấu.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Differentiation and integration gồm 6 câu trắc nghiệm và 1 đề tự luận. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.