Mục lục bài họcĐang ở d07-b2
Trigonometric equations and identities
The three Pythagorean identities
$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ · $1+\tan^2\theta=\sec^2\theta$ · $1+\cot^2\theta=\csc^2\theta$
The last two come from dividing the first by $\cos^2\theta$ and $\sin^2\theta$.
Solving equations
- Find the basic angle from the positive value.
- Decide which quadrants the sign allows: sin positive in Q1, Q2; cos positive in Q1, Q4; tan positive in Q1, Q3.
- Write every solution inside the interval given.
$\sin x=0.5$ on $[0,2\pi]$ gives $x=\dfrac{\pi}{6}$ and $\pi-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{5\pi}{6}$.
When the angle is $kx$
Solving $\sin 2x=0.5$ on $[0,2\pi]$: let $u=2x$, so $u$ runs over $[0,4\pi]$ — two full cycles, giving four solutions.
Graphs
$y=a\sin(bx)+c$ has amplitude $|a|$, period $\dfrac{2\pi}{b}$, and is shifted up by $c$.
Ba hằng đẳng thức Pythagore
$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ · $1+\tan^2\theta=\sec^2\theta$ · $1+\cot^2\theta=\csc^2\theta$
Hai cái sau suy ra bằng cách chia cái đầu cho $\cos^2\theta$ và $\sin^2\theta$ — nhớ cách suy thì không cần học thuộc.
Giải phương trình
- Tìm góc cơ bản từ giá trị dương.
- Xét dấu để biết nghiệm nằm ở góc phần tư nào: sin dương ở I và II; cos dương ở I và IV; tan dương ở I và III.
- Viết ra mọi nghiệm nằm trong khoảng đề cho.
$\sin x=0{,}5$ trên $[0,2\pi]$ cho $x=\dfrac{\pi}{6}$ và $\pi-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{5\pi}{6}$.
Khi góc là $kx$
Giải $\sin 2x=0{,}5$ trên $[0,2\pi]$: đặt $u=2x$ thì $u$ chạy trên $[0,4\pi]$ — hai chu kỳ đầy đủ, nên có bốn nghiệm.
Đồ thị
$y=a\sin(bx)+c$ có biên độ $|a|$, chu kỳ $\dfrac{2\pi}{b}$, và dịch lên $c$ đơn vị.
Giải $2\cos 3x=1$ với $0\le x\le \pi$.
Bước 1 — rút gọn. $\cos 3x=\dfrac12$.
Bước 2 — đổi khoảng. Đặt $u=3x$. Khi $x$ chạy từ $0$ tới $\pi$ thì $u$ chạy từ $0$ tới $3\pi$ — một chu kỳ rưỡi. Bỏ qua bước này là nguyên nhân số một khiến thí sinh thiếu nghiệm.
Bước 3 — giải theo $u$. Góc cơ bản là $\dfrac{\pi}{3}$. Cos dương ở góc phần tư I và IV, nên trong $[0,2\pi]$ có $u=\dfrac{\pi}{3}$ và $u=2\pi-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{5\pi}{3}$. Chu kỳ tiếp theo cho $u=2\pi+\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{7\pi}{3}$, vẫn nhỏ hơn $3\pi$ nên nhận.
Bước 4 — trả về $x$. Chia ba: $x=\dfrac{\pi}{9},\ \dfrac{5\pi}{9},\ \dfrac{7\pi}{9}$.
Kiểm. Cả ba đều nằm trong $[0,\pi]$ ✓ và số nghiệm ($3$) khớp với ‘một chu kỳ rưỡi × 2 nghiệm mỗi chu kỳ’.
Bẫy: chỉ lấy nghiệm cơ bản. Đề luôn cho một khoảng cụ thể, và điểm được chấm theo số nghiệm tìm đủ. Cách tránh: vẽ nhanh đường tròn lượng giác hoặc đồ thị, đếm giao điểm trước, rồi mới đi tìm — biết trước phải ra mấy nghiệm thì không bị sót.
Đổi khoảng trước khi giải khi góc là $kx$ · dùng dấu để chọn góc phần tư · đếm số nghiệm phải có rồi mới tìm · máy tính để chế độ radian.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Circular measure and trigonometry gồm 6 câu trắc nghiệm và 1 đề tự luận. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.