Mục lục bài họcĐang ở d04-b2
Inverse functions
When does an inverse exist?
Only when $f$ is one-one: every output comes from exactly one input. Graphically, every horizontal line meets the curve at most once.
Finding $f^{-1}$
- Write $y=f(x)$.
- Rearrange to make $x$ the subject.
- Swap the letters.
$y=\dfrac{x}{x+2} \Rightarrow y(x+2)=x \Rightarrow x(y-1)=-2y \Rightarrow x=\dfrac{2y}{1-y}$, so $f^{-1}(x)=\dfrac{2x}{1-x}$.
Two useful facts
- The graphs of $f$ and $f^{-1}$ are reflections in the line $y=x$.
- Because of that, solving $f(x)=f^{-1}(x)$ for a linear function reduces to solving $f(x)=x$.
Self-inverse functions
If $ff(x)=x$ then $f$ is its own inverse. Examples: $f(x)=\dfrac1x$ and $f(x)=k-x$.
Khi nào có hàm ngược?
Chỉ khi $f$ là một–một: mỗi đầu ra ứng với đúng một đầu vào. Về đồ thị, mọi đường ngang cắt đồ thị nhiều nhất một điểm.
Cách tìm $f^{-1}$
- Viết $y=f(x)$.
- Biến đổi để rút $x$ theo $y$.
- Đổi tên hai biến.
$y=\dfrac{x}{x+2} \Rightarrow y(x+2)=x \Rightarrow x(y-1)=-2y \Rightarrow x=\dfrac{2y}{1-y}$, nên $f^{-1}(x)=\dfrac{2x}{1-x}$.
Hai điều nên nhớ
- Đồ thị $f$ và $f^{-1}$ đối xứng nhau qua đường $y=x$.
- Nhờ vậy, giải $f(x)=f^{-1}(x)$ với hàm bậc nhất rút gọn thành giải $f(x)=x$ — nhanh hơn hẳn.
Hàm tự nghịch đảo
Nếu $ff(x)=x$ thì $f$ chính là hàm ngược của nó. Ví dụ: $f(x)=\dfrac1x$ và $f(x)=k-x$.
Cho $f(x)=\dfrac{3x-1}{x+2}$ với $x\ne-2$. Tìm $f^{-1}(x)$ và nêu giá trị phải loại khỏi miền xác định của nó.
Bước 1. Đặt $y=\dfrac{3x-1}{x+2}$ rồi nhân chéo: $y(x+2)=3x-1$, tức $xy+2y=3x-1$.
Bước 2 — gom $x$ về một vế. $xy-3x=-1-2y$, nên $x(y-3)=-(1+2y)$ và $x=\dfrac{-(1+2y)}{y-3}=\dfrac{1+2y}{3-y}$.
Bước 3 — đổi biến. $f^{-1}(x)=\dfrac{1+2x}{3-x}$.
Bước 4 — miền xác định. Mẫu bằng $0$ khi $x=3$, nên phải loại $x=3$. Con số $3$ này không phải ngẫu nhiên: nó chính là tiệm cận ngang của $f$, tức giá trị mà $f$ không bao giờ nhận, nên nó không thể nằm trong miền xác định của hàm ngược.
Bẫy: quên đổi dấu khi gom $x$. Ở bước $xy-3x=-1-2y$, nếu chỉ chuyển $3x$ mà quên đổi dấu $1$ thì kết quả sai hoàn toàn mà nhìn vẫn ‘có vẻ đúng’. Cách kiểm nhanh: thay một số cụ thể vào $f$ rồi thay kết quả vào $f^{-1}$, phải quay về số ban đầu.
Có hàm ngược khi hàm một–một · rút $x$ theo $y$ rồi đổi tên biến · đồ thị đối xứng qua $y=x$ · giá trị bị loại của $f^{-1}$ chính là tiệm cận ngang của $f$.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Functions gồm 6 câu trắc nghiệm và 1 đề tự luận. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.