Mục lục bài họcĐang ở d06-b3
Trigonometric Identities and Equivalent Representations
Three families you must own
Pythagorean: $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$, and its two divided forms $1+\tan^2\theta=\sec^2\theta$, $1+\cot^2\theta=\csc^2\theta$.
Sum and difference:
$$\sin(A\pm B)=\sin A\cos B\pm\cos A\sin B$$$$\cos(A\pm B)=\cos A\cos B\mp\sin A\sin B$$Note the sign flip in the cosine formula — it is the most-tested sign in the unit.
Double angle: $\sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta$, and cosine in three interchangeable costumes:
$$\cos2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta=2\cos^2\theta-1=1-2\sin^2\theta$$Choosing the right costume is the whole skill: to solve an equation mixing $\cos2\theta$ with $\sin\theta$, pick $1-2\sin^2\theta$ so everything becomes one function; mixing with $\cos\theta$, pick $2\cos^2\theta-1$. On the AP exam, identities are rarely asked alone — they are the door you must walk through before a solving step or an equivalent-representation multiple choice.
Ba họ đẳng thức phải thuộc đến mức phản xạ:
Pythagoras: $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$, cùng hai dạng chia ra: $1+\tan^2\theta=\sec^2\theta$ và $1+\cot^2\theta=\csc^2\theta$.
Tổng–hiệu: $\sin(A\pm B)=\sin A\cos B\pm\cos A\sin B$; $\cos(A\pm B)=\cos A\cos B\mp\sin A\sin B$. Dấu ngược ở công thức cos là cái dấu bị hỏi nhiều nhất của cả unit.
Góc nhân đôi: $\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$, còn $\cos2\theta$ có ba bộ áo: $\cos^2\theta-\sin^2\theta = 2\cos^2\theta-1 = 1-2\sin^2\theta$.
Chọn đúng bộ áo chính là toàn bộ kỹ năng: phương trình trộn $\cos2\theta$ với $\sin\theta$ thì mặc $1-2\sin^2\theta$ để mọi thứ quy về một hàm; trộn với $\cos\theta$ thì mặc $2\cos^2\theta-1$. Trong đề AP, đẳng thức hầu như không đứng một mình — nó là cánh cửa bắt buộc phải đi qua trước khi giải phương trình hoặc chọn "biểu thức tương đương".
Giải $\cos(2x)+\sin x=0$ trên $[0,2\pi)$.
Phương trình trộn $\cos2x$ với $\sin x$ ⇒ mặc bộ áo $\cos2x=1-2\sin^2x$ để tất cả quy về $\sin x$:
$$1-2\sin^2x+\sin x=0\ \Longrightarrow\ 2\sin^2x-\sin x-1=0\ \Longrightarrow\ (2\sin x+1)(\sin x-1)=0$$Nhánh $\sin x=1$: $x=\frac{\pi}{2}$.
Nhánh $\sin x=-\frac12$: nghiệm gốc $-\frac{\pi}{6}$ nằm ngoài khoảng; trong $[0,2\pi)$ lấy hai nghiệm phần tư III–IV: $x=\frac{7\pi}{6}$ và $x=\frac{11\pi}{6}$.
Đáp số: $x=\frac{\pi}{2},\ \frac{7\pi}{6},\ \frac{11\pi}{6}$. Chọn nhầm bộ áo $\cos^2-\sin^2$ là tự chuốc một phương trình hai ẩn không phân tích nổi.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Trig Equations, Inverses, and Polar Functions gồm 14 câu trắc nghiệm và 4 đề tự luận, ra khó hơn đề thật 30–50%. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.