Mục lục bài họcĐang ở d01-b1
Change in Tandem and Rates of Change
Reading how two quantities change in tandem
A function describes how an output quantity changes as the input changes. On an interval, $f$ is increasing when larger inputs always give larger outputs, and decreasing when larger inputs give smaller outputs. That is the first layer of information in a graph.
The second layer is concavity, and AP Precalculus defines it through rates of change rather than through curvature: the graph is concave up on an interval when the rate of change of $f$ is itself increasing there, and concave down when the rate of change is decreasing. Increasing/decreasing and concave up/down are independent switches — all four combinations occur, and the exam tests every one of them.
Average rate of change
The average rate of change (AROC) of $f$ over $[a,b]$ is the slope of the secant line through the endpoints:
$$\text{AROC}=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$$It carries units — output units per input unit — and stating those units is worth points on free-response. A point of inflection is where concavity changes: the rate of change switches from increasing to decreasing or vice versa.
Tầng thứ nhất của một đồ thị là chuyện tăng hay giảm: vào lớn hơn thì ra lớn hơn — tăng; vào lớn hơn mà ra nhỏ đi — giảm.
Tầng thứ hai là độ lõm, và AP Precalculus định nghĩa nó bằng tốc độ biến thiên chứ không bằng “độ cong”: lõm lên (concave up) nghĩa là tốc độ biến thiên đang tăng dần; lõm xuống (concave down) nghĩa là tốc độ biến thiên đang giảm dần. Hai công tắc tăng/giảm và lõm lên/lõm xuống độc lập nhau — đủ bốn tổ hợp, và đề thi hỏi cả bốn.
Tốc độ biến thiên trung bình (AROC) trên $[a,b]$ chính là hệ số góc cát tuyến nối hai đầu mút: $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$. Nó luôn có đơn vị (đơn vị ra trên đơn vị vào) — tự luận mà quên ghi đơn vị là mất điểm dù số đúng. Điểm uốn là chỗ đổi độ lõm: tốc độ biến thiên đổi từ tăng sang giảm hoặc ngược lại.
Một hồ chứa được bơm nước. Thể tích $V(t)$ (nghìn lít) tại các thời điểm $t$ (giờ) lần lượt là: $V(0)=5$, $V(2)=17$, $V(4)=25$, $V(6)=29$. Hàm $V$ đang tăng hay giảm, và đồ thị lõm lên hay lõm xuống? Giải thích bằng tốc độ biến thiên trung bình.
Tính AROC trên từng khoảng dài $2$ giờ:
$$\dfrac{17-5}{2}=6,\qquad \dfrac{25-17}{2}=4,\qquad \dfrac{29-25}{2}=2\ \text{(nghìn lít/giờ)}$$Cả ba giá trị đều dương ⇒ $V$ tăng trên $[0,6]$.
Dãy AROC $6\to4\to2$ đang giảm dần ⇒ tốc độ biến thiên giảm ⇒ đồ thị lõm xuống. Diễn nghĩa: hồ vẫn đầy thêm, nhưng mỗi giờ đầy thêm ít hơn giờ trước.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Polynomial Functions and Rates of Change gồm 14 câu trắc nghiệm và 5 đề tự luận, ra khó hơn đề thật 30–50%. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.