Mục lục bài họcĐang ở d04-b4
Semi-log Plots and Model Validation
Why semi-log plots exist
Take an exponential model $y=ab^x$ and apply a logarithm to both sides:
$$\log y=\log a+(\log b)\,x$$In the variables $(x,\log y)$ this is a line with slope $\log b$ and intercept $\log a$. So plotting $\log y$ (or $\ln y$) against $x$ — a semi-log plot — converts the question "is this data exponential?" into the far easier question "is this plot linear?". Conversely, data that is linear on a log-log plot (both axes logged) follows a power model $y=ax^n$.
Reading the plot backwards
From a semi-log line with slope $m$ and intercept $c$ (base-10 axes): $a=10^c$ and $b=10^m$. With natural-log axes, $a=e^c$ and $b=e^m$. Equal steps in $x$ multiplying $y$ by a constant factor — the fingerprint of exponential data in a table — appear on the semi-log plot as equal vertical steps.
Validating a model
A fitted model is checked with residuals: residual $=$ observed $-$ predicted. A good model leaves residuals that are small and patternless, scattered on both sides of zero. A residual plot with a systematic bend (e.g. $+,-,-,-,+$) says the model's shape is wrong no matter how small the errors look — that curved pattern under a linear fit is exactly the signature of underlying exponential growth.
Lấy log hai vế của mô hình mũ $y=ab^x$:
$$\log y=\log a+(\log b)\,x$$Trong cặp biến $(x,\log y)$ đây là đường thẳng, hệ số góc $\log b$, tung độ gốc $\log a$. Vậy vẽ $\log y$ theo $x$ — trục semi-log — biến câu khó "dữ liệu này có phải mũ không?" thành câu dễ "đồ thị này có thẳng không?". Đối chiếu: thẳng trên trục log-log (log cả hai trục) thì là mô hình luỹ thừa $y=ax^n$ — đề AP thích bắt phân biệt hai trường hợp này.
Đọc ngược từ đồ thị: đường semi-log (trục $\log_{10}$) có hệ số góc $m$ và tung độ gốc $c$ thì $a=10^c$, $b=10^m$; trục $\ln$ thì thay $10$ bằng $e$. Dấu vân tay của dữ liệu mũ trong bảng số — bước $x$ đều nhau, $y$ nhân cùng một hệ số — hiện lên trên semi-log thành các bậc thang cao bằng nhau.
Kiểm định mô hình bằng residual (phần dư = quan sát − dự đoán): mô hình tốt để lại residual nhỏ và không có hình thù, rải hai bên số 0. Residual cong hệ thống (kiểu $+,-,-,-,+$) tố cáo mô hình sai dáng bất kể sai số nhỏ đến đâu — và chính hoa văn cong dưới một fit tuyến tính là chữ ký của tăng trưởng mũ đang bị ép vào khuôn thẳng.
Trên trục semi-log ($\log_{10}y$ theo $x$), dữ liệu của một quần thể vi khuẩn nằm trên đường thẳng đi qua $(0;\,0{,}6)$ và $(5;\,2{,}1)$. Viết mô hình $y=ab^x$.
Hệ số góc: $m=\dfrac{2{,}1-0{,}6}{5-0}=0{,}3$; tung độ gốc $c=0{,}6$.
Từ $\log y=c+mx$ suy ra $y=10^{c}\cdot\left(10^{m}\right)^{x}$, tức $a=10^{0{,}6}\approx 3{,}98$ và $b=10^{0{,}3}\approx 2{,}0$.
Mô hình: $y\approx 4\cdot 2^x$ — quần thể nhân đôi sau mỗi đơn vị thời gian, xuất phát từ khoảng $4$ đơn vị. Chú ý thứ tự: $10^{0{,}6}$ là hệ số đầu $a$, $10^{0{,}3}$ là cơ số $b$; tráo hai vai này là ra phương án nhiễu kinh điển.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Logarithmic Functions and Modeling gồm 14 câu trắc nghiệm và 4 đề tự luận, ra khó hơn đề thật 30–50%. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.