Mục lục bài họcĐang ở d05-b4
Sinusoidal Function Modeling
A fixed workflow
Every modeling context — tides, Ferris wheels, daylight hours, temperature — hands you the same four unknowns. Extract them in this order:
- Midline $d=\dfrac{\max+\min}{2}$ (Ferris wheel: height of the center);
- Amplitude $|a|=\dfrac{\max-\min}{2}$ (Ferris wheel: the radius, not the diameter);
- Period from the context — one full rotation, one full tidal cycle. Careful: the gap from a high tide to the next low tide is only half a period. Then $b=\dfrac{2\pi}{\text{period}}$;
- Template and sign from the starting state: at a maximum use $+a\cos$, at a minimum use $-a\cos$, at the midline moving up use $+a\sin$. Choosing the template to match the data point at $t=0$ (or shifting with $c$) is the last step, never the first.
Check the finished model by substituting one known data point that you did not use in the construction.
Thuỷ triều, đu quay, số giờ nắng, nhiệt độ — tất cả đều đưa về cùng một quy trình bốn bước, làm đúng thứ tự:
- Đường giữa $d=\frac{\max+\min}{2}$ — với đu quay chính là độ cao tâm bánh xe;
- Biên độ $|a|=\frac{\max-\min}{2}$ — với đu quay là bán kính, không phải đường kính;
- Chu kỳ lấy từ ngữ cảnh: một vòng quay trọn, một nhịp triều trọn. Cẩn thận: từ đỉnh triều tới đáy triều kế tiếp mới là nửa chu kỳ. Có chu kỳ thì $b=\frac{2\pi}{\text{chu kỳ}}$;
- Chọn khuôn và dấu theo trạng thái xuất phát: bắt đầu ở đỉnh dùng $+a\cos$, ở đáy dùng $-a\cos$, ở đường giữa đang đi lên dùng $+a\sin$. Đây là bước cuối, không phải bước đầu.
Dựng xong, thế thử một điểm dữ liệu chưa dùng để kiểm — thói quen này ăn điểm phần tự luận và cứu cả câu trắc nghiệm.
Tại một cảng, triều cao $5{,}6$ m lúc $3$ giờ sáng và triều thấp kế tiếp $1{,}2$ m lúc $9$ giờ sáng. Coi độ sâu $h(t)$ là sinusoid theo giờ $t$ tính từ nửa đêm. Dựng $h(t)$ và tính độ sâu lúc $7$ giờ sáng.
Bốn bước theo thứ tự. Đường giữa $d=\frac{5{,}6+1{,}2}{2}=3{,}4$. Biên độ $|a|=\frac{5{,}6-1{,}2}{2}=2{,}2$.
Chu kỳ: từ đỉnh ($t=3$) tới đáy kế tiếp ($t=9$) là $6$ giờ — đó là nửa chu kỳ, nên chu kỳ trọn là $12$ giờ và $b=\frac{2\pi}{12}=\frac{\pi}{6}$.
Khuôn: tại $t=3$ hàm đạt đỉnh ⇒ dùng cos dời phải $3$:
$$h(t)=2{,}2\cos\!\Bigl(\frac{\pi}{6}(t-3)\Bigr)+3{,}4$$Kiểm bằng điểm chưa dùng trọn vẹn: $h(9)=2{,}2\cos(\pi)+3{,}4=1{,}2$ ✓.
Lúc $7$ giờ: $h(7)=2{,}2\cos\bigl(\frac{4\pi}{6}\bigr)+3{,}4=2{,}2\cdot\left(-\frac12\right)+3{,}4=2{,}3$ m.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Trigonometric Functions and Sinusoids gồm 14 câu trắc nghiệm và 4 đề tự luận, ra khó hơn đề thật 30–50%. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.