Mục lục bài họcĐang ở d03-b1
Arithmetic and Geometric Sequences
Two ways to move through a sequence
An arithmetic sequence adds the same amount $d$ at every step. Knowing any one term is enough to know them all:
$$a_n = a_0 + dn \qquad\text{or}\qquad a_n = a_k + d(n-k)$$A geometric sequence multiplies by the same ratio $r$ at every step:
$$g_n = g_0\,r^{\,n} \qquad\text{or}\qquad g_n = g_k\,r^{\,n-k}$$The second form of each — anchored at an arbitrary term $a_k$ or $g_k$ — is the one AP loves, because real data rarely hands you the zeroth term.
The deep point of Topics 2.1–2.2 is the bridge to functions: plot the points $(n, a_n)$ and they sit on a line of slope $d$; plot $(n, g_n)$ with $r>0$ and they sit on an exponential curve with base $r$. Arithmetic is linear sampled at integers; geometric is exponential sampled at integers.
Dãy cộng mỗi bước cộng thêm đúng $d$; dãy nhân mỗi bước nhân với đúng $r$. Mỗi loại có hai công thức tương đương:
$$a_n = a_0 + dn,\qquad a_n = a_k + d(n-k)$$$$g_n = g_0\,r^{\,n},\qquad g_n = g_k\,r^{\,n-k}$$Dạng thứ hai — neo vào một số hạng $a_k$ bất kỳ — là dạng đề AP chuộng, vì dữ liệu thật hiếm khi cho sẵn số hạng thứ $0$. Cho hai số hạng bất kỳ là dựng lại được cả dãy: dãy cộng thì lấy hiệu chia khoảng cách chỉ số, dãy nhân thì lấy tỉ số rồi khai căn.
Ý sâu nhất của bài này là cây cầu sang hàm số: chấm các điểm $(n, a_n)$ của dãy cộng lên lưới thì chúng nằm trên một đường thẳng hệ số góc $d$; chấm $(n, g_n)$ của dãy nhân (với $r>0$) thì chúng nằm trên một đường cong mũ cơ số $r$. Đề trắc nghiệm hỏi thẳng nhận xét này, không cần tính toán gì.
Dãy cộng có $a_2=7$ và $a_6=19$. Dãy nhân có $g_1=6$ và $g_4=48$. Viết công thức tổng quát của mỗi dãy.
Dãy cộng: từ $a_2$ tới $a_6$ đi $4$ bước và tăng $19-7=12$, nên $d=\dfrac{12}{4}=3$. Neo vào $a_2$: $a_n=7+3(n-2)$. Muốn dạng chuẩn thì khai triển: $a_n=3n+1$ (kiểm: $a_2=7$ ✓, $a_6=19$ ✓).
Dãy nhân: từ $g_1$ tới $g_4$ đi $3$ bước, nên $r^3=\dfrac{48}{6}=8\Rightarrow r=2$. Neo vào $g_1$: $g_n=6\cdot 2^{\,n-1}$, tức $g_n=3\cdot 2^{\,n}$.
Chú ý cả hai lần đều chia cho số bước ($6-2=4$ và $4-1=3$), không phải chia cho chỉ số cuối. Đây là lỗi số một của dạng bài.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Exponential Functions and Sequences gồm 14 câu trắc nghiệm và 4 đề tự luận, ra khó hơn đề thật 30–50%. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.