Mục lục bài họcĐang ở d03-b3
Exponential Manipulation and Models in Context
Same function, many outfits
Exponent rules let one exponential wear several equivalent forms, each answering a different question:
$$a\,b^{\,cx+d}=\left(a\,b^{\,d}\right)\left(b^{\,c}\right)^{x} \qquad\qquad a\,b^{\,x/k}=a\left(b^{1/k}\right)^{x}$$The form $a\,b^{\,x/k}$ is the natural language of doubling time and half-life: $P(t)=P_0\cdot 2^{\,t/k}$ doubles every $k$ units, and $M(t)=M_0\left(\tfrac12\right)^{t/h}$ halves every $h$ units. Rewriting it as $a\left(2^{1/k}\right)^t$ exposes the per-unit growth factor, hence the percent change per unit of time.
Compound interest is the same machine: $A(t)=P\left(1+\tfrac{r}{n}\right)^{nt}$ is just $ab^t$ with $b=\left(1+\tfrac rn\right)^n$ — more frequent compounding means a slightly larger effective base.
Contextual questions on the AP exam are unit-obsessed: every base must be tied to its time unit ("per day", "per quarter"), and switching units means re-deriving the base, never dividing the percent.
Luật luỹ thừa cho phép một hàm mũ mặc nhiều “bộ áo” tương đương, mỗi bộ trả lời một câu hỏi khác:
$$a\,b^{\,cx+d}=\left(a\,b^{\,d}\right)\left(b^{\,c}\right)^{x},\qquad a\,b^{\,x/k}=a\left(b^{1/k}\right)^{x}$$Dạng $a\,b^{\,x/k}$ là ngôn ngữ tự nhiên của thời gian nhân đôi và chu kỳ bán rã: $P(t)=P_0\cdot 2^{\,t/k}$ nhân đôi sau mỗi $k$ đơn vị; $M(t)=M_0\left(\tfrac12\right)^{t/h}$ giảm nửa sau mỗi $h$ đơn vị. Viết lại thành $a\left(2^{1/k}\right)^t$ là lộ ra hệ số nhân mỗi đơn vị thời gian — từ đó đọc được phần trăm thay đổi mỗi đơn vị.
Lãi kép cũng chỉ là cỗ máy này: $A(t)=P\left(1+\tfrac{r}{n}\right)^{nt}$ chính là $ab^t$ với $b=\left(1+\tfrac rn\right)^n$ — ghép lãi càng dày thì cơ số hiệu dụng càng nhỉnh hơn.
Câu ngữ cảnh của AP soi đơn vị rất kỹ: mỗi cơ số phải gắn với đúng đơn vị thời gian của nó; đổi đơn vị là phải dựng lại cơ số bằng khai căn, tuyệt đối không lấy phần trăm đem chia.
Lượng caffeine trong máu là $C(t)=200\left(\tfrac12\right)^{t/5}$ mg, với $t$ tính bằng giờ. (i) Sau bao lâu còn $25$ mg? (ii) Viết lại $C$ dưới dạng $a\,b^{\,t}$ và đọc phần trăm giảm mỗi giờ.
(i) $25=\dfrac{200}{8}=200\left(\tfrac12\right)^3$, tức cần đúng $3$ chu kỳ bán rã: $\tfrac{t}{5}=3\Rightarrow t=15$ giờ. Nhận ra $\tfrac{25}{200}=\tfrac18=\left(\tfrac12\right)^3$ là xong, không cần máy tính.
(ii) $C(t)=200\left[\left(\tfrac12\right)^{1/5}\right]^{t}\approx 200\,(0{,}8706)^{t}$.
Cơ số $\approx 0{,}8706$ nghĩa là mỗi giờ còn lại $87{,}06\%$ — tức giảm khoảng $12{,}9\%$ mỗi giờ. Chú ý con số này không phải $50\%\div5=10\%$: phần trăm mỗi giờ phải lấy từ khai căn bậc $5$, vì phân rã nhân dồn chứ không cộng dồn.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Exponential Functions and Sequences gồm 14 câu trắc nghiệm và 4 đề tự luận, ra khó hơn đề thật 30–50%. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.