Mục lục bài họcĐang ở d03-b4
Composition of Functions
Output of one, input of the other
The composition $(f\circ g)(x)=f(g(x))$ feeds the output of $g$ into $f$. Order matters: $f\circ g$ and $g\circ f$ are usually different functions, and the AP exam tests this with tables, graphs, and formulas alike.
Reading a table: to find $f(g(2))$, first look up $g(2)$, then use that value as the input row for $f$. Two lookups, strictly inside-out.
Decomposition reverses the process: given $h(x)=(2x-5)^3+4(2x-5)$, spot the repeated block $2x-5$, call it $g(x)$, and what remains is $f(x)=x^3+4x$. Decomposition is a modeling skill: it isolates the "inner process" (unit conversion, elapsed time) from the "outer process" (cost, area).
In context, a composition only makes sense when units match at the joint: the output units of the inner function must be the input units of the outer one. That single sentence is worth a point on free-response interpretation questions.
Hàm hợp $(f\circ g)(x)=f(g(x))$ lấy đầu ra của $g$ làm đầu vào của $f$. Thứ tự là sống còn: $f\circ g$ và $g\circ f$ nói chung là hai hàm khác nhau, và đề AP kiểm tra điều đó bằng đủ ba dạng biểu diễn — bảng, đồ thị, công thức.
Đọc bảng: muốn $f(g(2))$ thì tra $g(2)$ trước, rồi lấy giá trị đó làm đầu vào tra $f$. Hai lần tra, luôn từ trong ra ngoài.
Phân tích hàm ghép là chiều ngược: thấy $h(x)=(2x-5)^3+4(2x-5)$ thì nhận ra khối lặp lại $2x-5$, đặt nó là $g(x)$, phần còn lại là $f(x)=x^3+4x$. Kỹ năng này phục vụ mô hình hoá: tách “quy trình trong” (đổi đơn vị, thời gian trôi) khỏi “quy trình ngoài” (chi phí, diện tích).
Trong ngữ cảnh, hàm hợp chỉ có nghĩa khi đơn vị khớp tại khớp nối: đơn vị đầu ra của hàm trong phải đúng là đơn vị đầu vào của hàm ngoài. Riêng câu này viết ra được là có điểm ở phần tự luận.
Cho $f(x)=x^2+1$ và $g(x)=\sqrt{x-3}$. Tìm $(f\circ g)(x)$ và $(g\circ f)(x)$ cùng miền xác định của mỗi hàm.
$(f\circ g)(x)=f\left(\sqrt{x-3}\right)=\left(\sqrt{x-3}\right)^2+1=x-2$. Nhưng miền xác định không phải toàn $\mathbb{R}$: đầu vào phải qua được $g$ trước, nên cần $x\ge3$. Kết quả: $x-2$ trên $[3,\infty)$ — công thức đơn giản đi nhưng miền thì không nở ra.
$(g\circ f)(x)=\sqrt{x^2+1-3}=\sqrt{x^2-2}$, cần $x^2\ge2$, tức $x\le-\sqrt2$ hoặc $x\ge\sqrt2$.
Hai chiều cho hai hàm khác hẳn nhau — cả công thức lẫn miền. Miền của $f\circ g$ luôn là: những $x$ nằm trong miền của $g$ mà $g(x)$ lại rơi vào miền của $f$; rút gọn công thức xong mới xét miền là muộn.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Exponential Functions and Sequences gồm 14 câu trắc nghiệm và 4 đề tự luận, ra khó hơn đề thật 30–50%. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.