Mục lục bài họcĐang ở d01-b2
Rates of Change in Linear and Quadratic Functions
What makes linear and quadratic special
A function is linear exactly when its average rate of change is the same constant over every interval — that constant is the slope. Over equal-width input steps, the outputs change by equal first differences.
A function is quadratic exactly when its average rate of change over consecutive equal-width intervals changes at a constant rate: the first differences are not constant, but the second differences are. This is the table-based fingerprint the exam uses to identify degree.
More generally, for a degree-$n$ polynomial sampled at equal input steps, the $n$-th differences are constant and nonzero.
Computing AROC on symbolic intervals
The exam frequently asks for the AROC of a quadratic over an interval with a variable endpoint, e.g. $[a,a+h]$. The algebra always collapses:
$$\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\quad\text{simplifies to a linear expression in } a \text{ and } h.$$For $f(x)=x^2$ this gives $2a+h$ — a preview of the derivative without the name.
Bậc nhất = AROC là một hằng số duy nhất trên mọi khoảng (chính là hệ số góc). Lấy mẫu cách đều thì sai phân bậc nhất bằng nhau.
Bậc hai = AROC trên các khoảng cách đều liên tiếp biến thiên đều: sai phân bậc nhất không bằng nhau, nhưng sai phân bậc hai thì bằng nhau. Đây là “dấu vân tay” để nhận diện bậc từ bảng giá trị — dạng câu hỏi rất hay gặp.
Tổng quát: đa thức bậc $n$ lấy mẫu cách đều thì sai phân bậc $n$ là hằng số khác $0$.
Dạng tính AROC trên khoảng có đầu mút chữ, kiểu $[a,\,a+h]$: cứ viết $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ rồi khai triển — với hàm bậc hai, mọi thứ luôn rút gọn về một biểu thức bậc nhất theo $a$ và $h$. Với $f(x)=x^2$ ra $2a+h$: đây chính là cửa ngõ dẫn sang đạo hàm của Calculus, chỉ chưa gọi tên.
Bảng cho $f$ tại các giá trị vào cách đều: $f(0)=3$, $f(2)=5$, $f(4)=15$, $f(6)=33$. Chứng tỏ $f$ có thể là hàm bậc hai và tìm tốc độ biến thiên trung bình của $f$ trên $[2,6]$.
Sai phân bậc nhất: $5-3=2$; $15-5=10$; $33-15=18$. Không bằng nhau ⇒ không phải bậc nhất.
Sai phân bậc hai: $10-2=8$; $18-10=8$. Bằng nhau ⇒ bảng khớp với một hàm bậc hai.
AROC trên $[2,6]$: $\dfrac{f(6)-f(2)}{6-2}=\dfrac{33-5}{4}=7$.
Kiểm chéo cho vui: AROC trên $[2,4]$ là $5$, trên $[4,6]$ là $9$ — trung bình cộng $\frac{5+9}{2}=7$, khớp; với hàm bậc hai, AROC trên khoảng lớn luôn là trung bình của AROC trên hai nửa cách đều.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Polynomial Functions and Rates of Change gồm 14 câu trắc nghiệm và 5 đề tự luận, ra khó hơn đề thật 30–50%. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.