Mục lục bài họcĐang ở d09-b1
The six logic gates
What a logic gate does
A logic gate takes one or two binary inputs ($0$ or $1$) and produces one binary output, following a fixed rule. Every digital circuit is built from them.
NOT
One input. The output is the opposite of the input.
| $A$ | $0$ | $1$ |
| output | $1$ | $0$ |
AND
Output is $1$ only when both inputs are $1$.
| $A$ | $0$ | $0$ | $1$ | $1$ |
| $B$ | $0$ | $1$ | $0$ | $1$ |
| out | $0$ | $0$ | $0$ | $1$ |
OR
Output is $1$ when at least one input is $1$ — including when both are.
| $A$ | $0$ | $0$ | $1$ | $1$ |
| $B$ | $0$ | $1$ | $0$ | $1$ |
| out | $0$ | $1$ | $1$ | $1$ |
XOR — exclusive OR
Output is $1$ when the inputs are different.
| $A$ | $0$ | $0$ | $1$ | $1$ |
| $B$ | $0$ | $1$ | $0$ | $1$ |
| out | $0$ | $1$ | $1$ | $0$ |
Compare the last row of OR and XOR. They agree on the first three rows and differ on exactly one: when both inputs are $1$, OR gives $1$ but XOR gives $0$.
In everyday English, OR is "tea or coffee — and you may have both"; XOR is "tea or coffee, but not both".
NAND and NOR
NAND is AND with the output inverted. NOR is OR with the output inverted.
| $A$ | $0$ | $0$ | $1$ | $1$ |
| $B$ | $0$ | $1$ | $0$ | $1$ |
| NAND | $1$ | $1$ | $1$ | $0$ |
| NOR | $1$ | $0$ | $0$ | $0$ |
The reliable method: work out AND or OR first, then flip every value. Do not try to memorise NAND and NOR separately — deriving them is faster and never goes wrong.
Two useful facts that follow: NAND gives $0$ only when both inputs are $1$; NOR gives $1$ only when both inputs are $0$.
Size of a truth table
A truth table must list every possible combination of inputs. With $n$ inputs there are
$$2^n \text{ rows}$$
So $2$ inputs give $4$ rows, $3$ inputs give $8$ rows, and $4$ inputs give $16$.
The common error is writing $2n$ — giving $6$ rows for $3$ inputs. A table with missing rows is incomplete and loses marks even where the rows present are right.
Fill the input columns in binary counting order — $000$, $001$, $010$, $011$, $100$, … — so no combination is missed.
Cổng logic làm gì. Một cổng logic nhận một hoặc hai đầu vào nhị phân ($0$ hoặc $1$) và cho ra một đầu ra nhị phân, theo một quy tắc cố định. Mọi mạch số đều được dựng từ chúng.
Cổng ĐẢO. Một đầu vào. Đầu ra là ngược lại đầu vào: vào $0$ ra $1$, vào $1$ ra $0$.
Cổng VÀ. Đầu ra bằng $1$ chỉ khi cả hai đầu vào bằng $1$.
- $0$ và $0$ → $0$;
- $0$ và $1$ → $0$;
- $1$ và $0$ → $0$;
- $1$ và $1$ → $1$.
Cổng HOẶC. Đầu ra bằng $1$ khi ít nhất một đầu vào bằng $1$ — kể cả khi cả hai đều bằng $1$.
- $0$ và $0$ → $0$;
- $0$ và $1$ → $1$;
- $1$ và $0$ → $1$;
- $1$ và $1$ → $1$.
Cổng HOẶC LOẠI TRỪ. Đầu ra bằng $1$ khi hai đầu vào khác nhau.
- $0$ và $0$ → $0$;
- $0$ và $1$ → $1$;
- $1$ và $0$ → $1$;
- $1$ và $1$ → $0$.
So hàng cuối của HOẶC với HOẶC LOẠI TRỪ. Chúng giống hệt nhau ở ba hàng đầu và chỉ khác ở đúng một hàng: khi cả hai đầu vào đều bằng $1$, cổng HOẶC cho $1$ còn cổng HOẶC LOẠI TRỪ cho $0$.
Nói theo đời thường: HOẶC là “trà hoặc cà phê — mà lấy cả hai cũng được”; HOẶC LOẠI TRỪ là “trà hoặc cà phê, nhưng không được cả hai”.
Cổng VÀ ĐẢO và cổng HOẶC ĐẢO. VÀ ĐẢO là cổng VÀ với đầu ra bị đảo ngược. HOẶC ĐẢO là cổng HOẶC với đầu ra bị đảo ngược.
Cách làm đáng tin: tính cổng VÀ hoặc cổng HOẶC trước, rồi lật ngược mọi giá trị. Đừng cố học thuộc riêng hai cổng này — suy ra thì nhanh hơn và không bao giờ sai.
Hai điều rút ra rất hữu ích: cổng VÀ ĐẢO cho $0$ chỉ khi cả hai đầu vào bằng $1$; cổng HOẶC ĐẢO cho $1$ chỉ khi cả hai đầu vào bằng $0$.
Kích thước bảng chân trị. Bảng chân trị phải liệt kê mọi tổ hợp có thể của các đầu vào. Với $n$ đầu vào, số hàng là
$$2^n$$
Vậy $2$ đầu vào cho $4$ hàng, $3$ đầu vào cho $8$ hàng, và $4$ đầu vào cho $16$ hàng.
Lỗi phổ biến là viết $2n$ — cho ra $6$ hàng với $3$ đầu vào. Một bảng thiếu hàng là bảng chưa hoàn chỉnh và bị trừ điểm ngay cả khi các hàng đã ghi đều đúng.
Điền các cột đầu vào theo thứ tự đếm nhị phân — $000$, $001$, $010$, $011$, $100$, … — để không bỏ sót tổ hợp nào.
Lập bảng chân trị đầy đủ cho biểu thức $X = (A \ \text{VÀ} \ B) \ \text{HOẶC} \ (\text{ĐẢO} \ C)$, với ba đầu vào $A$, $B$, $C$.
Bước 1 — xác định số hàng.
Có $3$ đầu vào, nên số hàng là $2^3 = 8$.
Chú ý không phải $2 \times 3 = 6$. Bảng thiếu hàng là bảng chưa hoàn chỉnh và bị trừ điểm ngay cả khi các hàng đã ghi đều đúng.
Bước 2 — điền các đầu vào theo thứ tự đếm nhị phân.
$000$, $001$, $010$, $011$, $100$, $101$, $110$, $111$. Làm theo thứ tự này thì chắc chắn không bỏ sót tổ hợp nào.
Bước 3 — thêm các cột trung gian.
Đây là bước quan trọng nhất về mặt kỹ thuật: không tính thẳng ra kết quả cuối, mà tách biểu thức thành từng phần.
Cần hai cột trung gian: $A \ \text{VÀ} \ B$, và $\text{ĐẢO} \ C$.
Bước 4 — điền từng cột.
Cột $A \ \text{VÀ} \ B$: chỉ bằng $1$ khi cả hai bằng $1$. Với tám hàng trên, nó bằng $0,0,0,0,0,0,1,1$ — chỉ hai hàng cuối, vì đó là hai hàng duy nhất có $A = 1$ và $B = 1$.
Cột $\text{ĐẢO} \ C$: lật ngược cột $C$. Cột $C$ là $0,1,0,1,0,1,0,1$, nên $\text{ĐẢO} \ C$ là $1,0,1,0,1,0,1,0$.
Cột kết quả $X$: ghép hai cột trên bằng cổng HOẶC — bằng $1$ khi ít nhất một trong hai bằng $1$.
Ghép từng hàng: $1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1$.
Bảng hoàn chỉnh.
$ABC = 000$: $A\text{VÀ}B = 0$, $\text{ĐẢO}C = 1$ → $X = 1$
$ABC = 001$: $0$, $0$ → $X = 0$
$ABC = 010$: $0$, $1$ → $X = 1$
$ABC = 011$: $0$, $0$ → $X = 0$
$ABC = 100$: $0$, $1$ → $X = 1$
$ABC = 101$: $0$, $0$ → $X = 0$
$ABC = 110$: $1$, $1$ → $X = 1$
$ABC = 111$: $1$, $0$ → $X = 1$
Kiểm lại bằng cách khác. Hàng $ABC = 111$ là hàng đáng kiểm nhất, vì hai cột trung gian khác nhau ở đó. $A \ \text{VÀ} \ B = 1$ nhưng $\text{ĐẢO} \ C = 0$; cổng HOẶC chỉ cần một giá trị $1$ là đủ, nên $X = 1$. Đúng.
Vì sao nên làm bằng cột trung gian: nếu tính nhẩm thẳng ra $X$, ta phải giữ hai phép tính trong đầu cùng lúc ở tám hàng — và sai một hàng là hỏng.
Không học thuộc, hãy suy ra bảng chân trị của cổng VÀ ĐẢO và cổng HOẶC ĐẢO, rồi nêu một đặc điểm đáng nhớ của mỗi cổng.
Cách làm: tính cổng gốc trước, rồi lật ngược mọi giá trị.
Cổng VÀ ĐẢO.
Bước 1 — viết cổng VÀ. Nó bằng $1$ chỉ khi cả hai đầu vào bằng $1$:
$0,0$ → $0$ | $0,1$ → $0$ | $1,0$ → $0$ | $1,1$ → $1$
Bước 2 — lật ngược từng giá trị.
$0,0$ → $1$ | $0,1$ → $1$ | $1,0$ → $1$ | $1,1$ → $0$
Đặc điểm đáng nhớ: cổng VÀ ĐẢO cho $0$ chỉ khi cả hai đầu vào đều bằng $1$. Ba trường hợp còn lại đều cho $1$.
Cổng HOẶC ĐẢO.
Bước 1 — viết cổng HOẶC. Nó bằng $1$ khi ít nhất một đầu vào bằng $1$:
$0,0$ → $0$ | $0,1$ → $1$ | $1,0$ → $1$ | $1,1$ → $1$
Bước 2 — lật ngược từng giá trị.
$0,0$ → $1$ | $0,1$ → $0$ | $1,0$ → $0$ | $1,1$ → $0$
Đặc điểm đáng nhớ: cổng HOẶC ĐẢO cho $1$ chỉ khi cả hai đầu vào đều bằng $0$. Ba trường hợp còn lại đều cho $0$.
Vì sao nên suy ra thay vì học thuộc.
Học thuộc riêng bốn bảng chân trị hai đầu vào nghĩa là nhớ mười sáu con số rời rạc, và rất dễ lẫn cổng này với cổng kia dưới áp lực phòng thi.
Suy ra thì chỉ cần nhớ hai quy tắc gốc — cổng VÀ cần cả hai, cổng HOẶC cần ít nhất một — cộng thêm một thao tác lật ngược.
Cách này không bao giờ sai, và nó cũng nhanh hơn khi làm bài.
Kiểm lại nhanh bằng đối xứng: hai đặc điểm đáng nhớ ở trên đối xứng đẹp với nhau — cổng VÀ ĐẢO cho $0$ duy nhất ở hàng $1,1$; cổng HOẶC ĐẢO cho $1$ duy nhất ở hàng $0,0$. Nếu suy ra mà không thấy đối xứng đó thì chắc chắn đã sai ở đâu.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Boolean Logic gồm 14 câu trắc nghiệm và 5 đề tự luận. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.