Ở lớp 10 ta đã đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu (số trung bình, trung vị, mốt). Nhưng hai mẫu có cùng số trung bình vẫn có thể khác nhau một trời một vực: một lớp mà ai cũng được 7 điểm khác hẳn một lớp nửa được 4 nửa được 10. Phần này học bốn số đo mức độ phân tán: khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, phương sai và độ lệch chuẩn, tính trên mẫu số liệu ghép nhóm.
Khi số liệu quá nhiều hoặc đo bằng đại lượng liên tục (thời gian, chiều cao, khối lượng), ta chia miền giá trị thành các nửa khoảng liên tiếp $[a_1;a_2)$, $[a_2;a_3)$, ..., $[a_k;a_{k+1})$ rồi đếm xem mỗi nhóm có bao nhiêu số liệu. Ba quy ước bắt buộc nhớ:
| Số đặc trưng | Công thức | Đo cái gì |
|---|---|---|
| Khoảng biến thiên $R$ | $R=a_{k+1}-a_1$ | Bề rộng toàn bộ miền số liệu; chỉ dùng hai đầu mút ngoài cùng |
| Khoảng tứ phân vị $\Delta_Q$ | $\Delta_Q=Q_3-Q_1$ | Bề rộng của $50\%$ số liệu nằm giữa; bỏ hẳn hai đuôi |
| Phương sai $s^2$ | $s^2=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{k}n_i\left(c_i-\bar{x}\right)^2=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{k}n_ic_i^2-\bar{x}^2$ | Độ lệch bình phương trung bình so với $\bar{x}$ |
| Độ lệch chuẩn $s$ | $s=\sqrt{s^2}$ | Như phương sai nhưng cùng đơn vị với số liệu |
Trong đó số trung bình của mẫu ghép nhóm là $\bar{x}=\dfrac{n_1c_1+n_2c_2+\dots+n_kc_k}{n}$.
Gọi $p$ là chỉ số nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ $cf_p\ge \dfrac{n}{4}$. Khi đó
$Q_1=a_p+\dfrac{\dfrac{n}{4}-cf_{p-1}}{n_p}\left(a_{p+1}-a_p\right)$.
Công thức của $Q_3$ giống hệt, chỉ thay mốc $\dfrac{n}{4}$ bằng $\dfrac{3n}{4}$; công thức của trung vị $Q_2$ dùng mốc $\dfrac{n}{2}$. Chú ý ba điều: mốc là $\dfrac{n}{4}$ chứ không phải $\dfrac{n+1}{4}$; số trừ ở tử là tần số tích luỹ của nhóm đứng trước; và mẫu số là tần số của chính nhóm chứa tứ phân vị, không phải cỡ mẫu.
Cộng cùng một số $c$ vào mọi số liệu (tức tịnh tiến mọi đầu mút nhóm) thì số trung bình tăng thêm $c$ nhưng phương sai và độ lệch chuẩn không đổi, vì độ phân tán không phụ thuộc gốc đo. Nhân mọi số liệu với $k\gt 0$ thì số trung bình và độ lệch chuẩn cùng nhân $k$, còn phương sai nhân $k^2$.
Khi đã ghép nhóm thì số liệu gốc không còn; ta chỉ biết có bao nhiêu giá trị rơi vào mỗi khoảng. Mọi công thức ở trên đều dựa trên một giả thiết: các giá trị trong mỗi nhóm phân bố đều, nên lấy trung điểm làm đại diện thì sai số hai bên bù trừ nhau. Đó cũng là lý do kết quả chỉ là xấp xỉ: nếu biết số liệu thật, sau khi tính lại thường lệch đi một chút. Lấy đầu mút trái làm đại diện thì sai số không bù trừ mà cộng dồn về một phía: số trung bình tụt đúng nửa độ rộng nhóm.
Khai triển bình phương trong định nghĩa:
$$s^2=\dfrac{1}{n}\sum n_i\left(c_i-\bar{x}\right)^2=\dfrac{1}{n}\sum n_ic_i^2-2\bar{x}\cdot\dfrac{1}{n}\sum n_ic_i+\bar{x}^2=\dfrac{1}{n}\sum n_ic_i^2-\bar{x}^2,$$vì $\dfrac{1}{n}\sum n_ic_i$ chính là $\bar{x}$. Hai đường cho cùng một số, nên luôn tính một đường rồi kiểm bằng đường kia — đó là phép thử rẻ nhất ở chương này. Công thức rút gọn còn cho một hệ quả để tự kiểm: vì $s^2\ge 0$ nên $\dfrac{1}{n}\sum n_ic_i^2\ge\bar{x}^2$; tính ra phương sai âm nghĩa là đã sai số ở đâu đó.
Nhóm đầu là $[0;10)$ nên $a_1=0$; nhóm cuối là $[30;40)$ nên $a_5=40$.
$$R=40-0=40\ \text{phút}.$$Tần số không tham gia vào phép tính này: đổi $6$, $10$, $16$, $8$ thành bộ số khác thì $R$ vẫn bằng $40$.
Hai phép chặn nhanh. Thứ nhất, $\bar{x}$ bắt buộc nằm giữa $c_1=5$ và $c_4=35$ — $21{,}5$ thoả. Thứ hai, nhóm $[20;30)$ đông nhất nên $\bar{x}$ phải bị kéo về phía $25$; $21{,}5$ nằm giữa $15$ và $25$, lệch về $25$ — hợp lý.
$R=40$ phút và $\bar{x}=21{,}5$ phút.
Lấy hiệu hai giá trị đại diện cho $R=35-5=30$, thiếu đúng một độ rộng nhóm. Dùng đầu mút trái $0$, $10$, $20$, $30$ làm đại diện cho $\bar{x}=16{,}5$, thấp hơn đúng $5$ phút — nửa độ rộng nhóm, dấu hiệu nhận ra ngay. Chia $860$ cho $4$ (số nhóm) thay vì cho $40$ (cỡ mẫu) cho $215$, một con số vượt hẳn đầu mút lớn nhất.
Cộng thêm $100$ vào mọi đầu mút (nhóm thành $[100;110)$…) thì $\bar{x}$ thành $121{,}5$ nhưng $R$ vẫn $40$. Còn đổi tần số nhóm cuối từ $8$ thành $16$ thì $n=48$, $\sum n_ic_i=1140$ và $\bar{x}=23{,}75$ — tăng lên vì đuôi phải nặng thêm, trong khi $R$ không đổi.
Cỡ mẫu $n=40$. Tần số tích luỹ trả lời câu “đến hết nhóm này đã có bao nhiêu giá trị” — đó là thứ duy nhất cần để định vị $Q_1$ và $Q_3$.
Mốc là $\dfrac{n}{4}=10$. Nhóm đầu tiên có $cf\ge 10$ là $[10;20)$ (vì $cf_1=6\lt 10$ còn $cf_2=16\ge 10$). Với $a_p=10$, $cf_{p-1}=6$, $n_p=10$, độ rộng $10$:
$$Q_1=10+\dfrac{10-6}{10}\cdot 10=10+4=14.$$Mốc là $\dfrac{3n}{4}=30$. Nhóm đầu tiên có $cf\ge 30$ là $[20;30)$ (vì $cf_2=16\lt 30$ còn $cf_3=32\ge 30$):
$$Q_3=20+\dfrac{30-16}{16}\cdot 10=20+8{,}75=28{,}75.$$Phép tự kiểm bắt buộc: $Q_1$ phải nằm trong nhóm vừa chọn. $14\in[10;20)$ đúng, $28{,}75\in[20;30)$ đúng. Ra một số nằm ngoài nhóm là dấu hiệu chắc chắn đã lấy nhầm $cf$ hoặc chia nhầm mẫu.
$\Delta_Q=Q_3-Q_1=28{,}75-14=14{,}75$ phút. Một nửa số học sinh ở giữa nằm gọn trong dải $14{,}75$ phút, hẹp hơn nhiều so với khoảng biến thiên $40$ phút — dấu hiệu hai đuôi kéo dài.
Lấy $cf$ của chính nhóm chứa $Q_1$ (tức $16$) thay vì nhóm trước cho $Q_1=10-6=4$, rơi ra ngoài nhóm $[10;20)$. Chia cho cỡ mẫu $40$ thay vì tần số $n_p=10$ cho $Q_1=11$, sai nhẹ nên rất dễ lọt. Dùng mốc $\dfrac{n+1}{4}=10{,}25$ cho $Q_1=14{,}25$ — lệch $0{,}25$, đủ để trượt đáp án trắc nghiệm.
Nếu nhóm thứ ba đổi thành $[20;50)$ (rộng $30$) thì công thức $Q_3$ phải nhân với $30$ chứ không phải $10$: $Q_3=20+\dfrac{30-16}{16}\cdot 30=46{,}25$. Giữ nguyên $10$ trong công thức là ra $28{,}75$ — một số vẫn “nhìn hợp lý” nên rất khó phát hiện.
Cỡ mẫu $n=4+6+6+4=20$. Bảng đối xứng nên có thể đoán trước $\bar{x}$ rơi đúng giữa, tức $20$.
Đúng như dự đoán từ tính đối xứng — một phép kiểm miễn phí.
Hai đường ra cùng một số nên yên tâm. Thêm một phép chặn: phương sai không vượt quá bình phương nửa khoảng biến thiên, tức $20^2=400$; $105$ nằm dưới ngưỡng đó.
$s^2=105$ (đơn vị gam bình phương) và $s=\sqrt{105}\approx 10{,}25$ gam.
Quên trừ $\bar{x}^2$ cho $s^2=505$, lớn gần gấp năm lần đáp số và vượt cả ngưỡng $400$ nên chắc chắn sai. Trả lời $105$ gam khi đề hỏi độ lệch chuẩn là nhầm đơn vị: phương sai mang đơn vị gam bình phương. Lấy $\dfrac{1}{n-1}$ thay $\dfrac{1}{n}$ cho $\dfrac{2100}{19}\approx 110{,}5$ — đó là phương sai mẫu hiệu chỉnh, không phải thứ chương trình này yêu cầu.
Đề đã nói “khối lượng đã trừ đi $100$ gam”. Cộng trả $100$ vào mọi số liệu thì $\bar{x}$ thành $120$ gam nhưng $s^2$ vẫn $105$ và $s$ vẫn $10{,}25$ gam — tịnh tiến không đổi độ phân tán. Còn nếu mọi số liệu nhân đôi thì $\bar{x}$ và $s$ nhân $2$, còn $s^2$ nhân $4$, thành $420$.