Trong không gian $Oxyz$, mặt cầu tâm $I(a;b;c)$ bán kính $R\gt 0$ là tập hợp các điểm $M$ thoả mãn $IM=R$. Viết điều kiện đó bằng toạ độ ta được toàn bộ lí thuyết của bài này: mọi câu hỏi về mặt cầu đều quy về việc đọc ra tâm và bán kính, rồi so bán kính với một khoảng cách nào đó.
Dạng chính tắc. Mặt cầu tâm $I(a;b;c)$, bán kính $R$ có phương trình $$(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2.$$ Nhìn vào dạng này, tâm lấy dấu ngược với số trong ngoặc, còn vế phải là $R^2$ chứ không phải $R$ — hai chỗ sai dấu và sai bình phương này chiếm phần lớn số câu bị mất điểm.
Dạng tổng quát. Khai triển dạng trên và đặt $d=a^2+b^2+c^2-R^2$ ta được $$x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0.$$ Ngược lại, một phương trình bậc hai dạng $x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$ là phương trình của một mặt cầu khi và chỉ khi $$a^2+b^2+c^2-d\gt 0,$$ và khi đó tâm là $I(a;b;c)$, bán kính $R=\sqrt{a^2+b^2+c^2-d}$. Điều kiện $\gt 0$ là điều kiện chặt: nếu $a^2+b^2+c^2-d=0$ thì tập nghiệm chỉ còn đúng một điểm $I$, còn nếu âm thì không có điểm nào. Cả hai trường hợp đó đều không phải mặt cầu.
Muốn dùng được hai công thức trên, phương trình phải có đủ ba bình phương với cùng một hệ số và không chứa tích chéo $xy$, $yz$, $zx$. Gặp $2x^2+2y^2+2z^2-4x+8y-2=0$ thì phải chia cả hai vế cho $2$ trước khi đọc tâm.
| Dữ kiện đề cho | Cách xử lí | Kết quả |
|---|---|---|
| Tâm $I$ và bán kính $R$ | Thay thẳng vào dạng chính tắc | $(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2$ |
| Tâm $I$, đi qua điểm $A$ | $R=IA$, không cần khai căn vì chỉ dùng $R^2$ | $R^2=IA^2$ |
| Đường kính $AB$ | Tâm là trung điểm $AB$, $R=\dfrac{AB}{2}$ | $R^2=\dfrac{AB^2}{4}$ |
| Tâm $I$, tiếp xúc mặt phẳng $(P)$ | $R=d\left(I,(P)\right)$ | $R=\dfrac{\left|Aa+Bb+Cc+D\right|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$ |
| Đi qua bốn điểm không đồng phẳng | Dùng dạng tổng quát, thay bốn điểm được hệ bốn phương trình bậc nhất ẩn $a,b,c,d$ | Giải hệ, suy ra $I$ và $R$ |
Riêng kiểu cuối, kinh nghiệm là luôn dùng dạng tổng quát: thay toạ độ từng điểm vào ta được hệ bậc nhất bốn ẩn, giải nhanh hơn nhiều so với việc lập ba phương trình khoảng cách bằng nhau ở dạng chính tắc.
Cho mặt cầu $(S)$ tâm $I$ bán kính $R$ và mặt phẳng $(P)$. Đặt $d=d\left(I,(P)\right)$. Toàn bộ việc xét vị trí tương đối gói trong một phép so sánh:
| So sánh | Vị trí tương đối | Ghi chú tính toán |
|---|---|---|
| $d\gt R$ | $(P)$ và $(S)$ không có điểm chung | Khoảng cách ngắn nhất từ $(P)$ tới $(S)$ là $d-R$ |
| $d=R$ | $(P)$ tiếp xúc $(S)$ tại đúng một điểm | $(P)$ gọi là tiếp diện; tiếp điểm là hình chiếu của $I$ lên $(P)$ |
| $d\lt R$ | $(P)$ cắt $(S)$ theo một đường tròn | Bán kính đường tròn giao tuyến $r=\sqrt{R^2-d^2}$; tâm đường tròn là hình chiếu của $I$ |
Hai hệ quả hay được hỏi: khoảng cách lớn nhất từ một điểm của $(S)$ đến $(P)$ bằng $d+R$, còn khoảng cách nhỏ nhất bằng $\left|d-R\right|$. Khi $d=0$ thì $(P)$ đi qua tâm và cắt mặt cầu theo đường tròn lớn, bán kính đúng bằng $R$.
Nhóm bình phương đủ cho phương trình tổng quát:
$$(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=a^2+b^2+c^2-d.$$Vế trái là tổng ba bình phương nên không bao giờ âm. Do đó vế phải quyết định tất cả: dương thì có mặt cầu bán kính $R=\sqrt{a^2+b^2+c^2-d}$; bằng $0$ thì tập nghiệm chỉ gồm đúng điểm $I(a;b;c)$ (quen gọi là “mặt cầu điểm”, không phải mặt cầu); âm thì không có điểm nào. Đề có tham số hầu như luôn hỏi đúng chỗ này, nên giải bất phương trình $a^2+b^2+c^2-d\gt 0$ trước rồi mới làm tiếp.
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của tâm $I$ lên mặt phẳng $(P)$ và $M$ là một điểm bất kì của giao tuyến. Khi đó $IH\perp(P)$ nên tam giác $IHM$ vuông tại $H$, với $IM=R$, $IH=d$ và $HM=r$. Định lí Pythagore cho $R^2=d^2+r^2$. Vì $M$ chạy khắp giao tuyến mà $HM$ luôn bằng nhau, giao tuyến đúng là một đường tròn tâm $H$. Hệ quả đọc được ngay từ hình: $r\lt R$ luôn đúng, và $r=R$ chỉ khi $d=0$, tức mặt phẳng đi qua tâm.
Khuôn là $x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$, nên chia hệ số của $x$, $y$, $z$ cho $-2$:
Dương nên đây thực sự là một mặt cầu. Bước này không được bỏ: nếu ra $0$ thì tập nghiệm chỉ là một điểm, nếu ra âm thì không có điểm nào.
$x^2-4x=(x-2)^2-4$; $y^2+2y=(y+1)^2-1$; $z^2-6z=(z-3)^2-9$. Thay vào:
$$(x-2)^2+(y+1)^2+(z-3)^2-4-1-9-11=0\ \Longleftrightarrow\ (x-2)^2+(y+1)^2+(z-3)^2=25.$$Trùng đúng tâm và bán kính vừa tìm. Đường nhóm bình phương chậm hơn nhưng không bao giờ nhớ nhầm dấu.
Đây là mặt cầu tâm $I(2;-1;3)$, bán kính $R=5$.
Quên chia $-2$ cho tâm $I(4;-2;6)$ — toạ độ gấp đôi. Quên đổi dấu cho $I(-2;1;-3)$, đối xứng qua gốc toạ độ. Lấy $d=11$ (bỏ dấu trừ của hằng số) cho $a^2+b^2+c^2-d=3$ và $R=\sqrt{3}$ thay vì $5$. Lấy luôn $R=25$ là nhầm $R^2$ với $R$.
Đổi hằng số $-11$ thành $+14$ thì $a^2+b^2+c^2-d=4+1+9-14=0$: tập nghiệm thu về đúng một điểm $I(2;-1;3)$, không còn là mặt cầu. Đổi thành $+20$ thì số đó bằng $-6\lt 0$ và không có điểm nào thoả.
Đề cho sẵn tâm, thiếu bán kính. Điều kiện tiếp xúc biến bài toán thành một phép tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.
$\vec{n}=(1;2;2)$ nên $\left|\vec{n}\right|=\sqrt{1+4+4}=3$. Thay tâm vào vế trái của $(P)$:
$$1+2\cdot 2+2\cdot 3-2=9\ \Rightarrow\ R=d\left(I,(P)\right)=\dfrac{\left|9\right|}{3}=3.$$Tiếp điểm là $H=I-\dfrac{9}{9}\vec{n}=(1;2;3)-(1;2;2)=(0;0;1)$. Thử vào $(P)$: $0+0+2-2=0$ — $H$ nằm trên $(P)$. Thử vào mặt cầu: $1+4+4=9$ — $H$ nằm trên mặt cầu. Một điểm thuộc cả hai, đúng định nghĩa tiếp xúc.
$(S):(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=9$.
Quên chia cho $3$ thì $R=9$ và vế phải thành $81$ — mặt cầu to gấp ba, cắt hẳn mặt phẳng chứ không tiếp xúc. Viết vế phải là $3$ (nhầm $R$ với $R^2$) cho một mặt cầu bán kính $\sqrt{3}\approx 1{,}73$, không chạm tới $(P)$. Quên hằng số $-2$ khi thay tâm cho tử số $11$ và $R=\dfrac{11}{3}$.
Nếu đề đổi thành “tiếp xúc với $(Oxy)$” thì $(P): z=0$, $\left|\vec{n}\right|=1$ và $R=3$ — trùng đáp số nhưng vì lý do khác: bán kính bằng đúng cao độ của tâm. Còn nếu đề yêu cầu mặt cầu cắt $(P)$ theo đường tròn bán kính $4$ thì $R=\sqrt{3^2+4^2}=5$ và vế phải thành $25$.
Mỗi ngoặc cho một toạ độ tâm bằng số đối của hằng số trong ngoặc, vế phải là $R^2$:
$$I(1;-2;1),\qquad R=\sqrt{25}=5.$$$\vec{n}=(1;2;-2)$, $\left|\vec{n}\right|=3$. Thay tâm: $1+2\cdot(-2)-2\cdot 1+14=9$, nên
$$d=\dfrac{\left|9\right|}{3}=3.$$$d=3\lt 5=R$ nên mặt phẳng cắt mặt cầu theo một đường tròn.
Kiểm nhanh: $r=4$ phải nhỏ hơn $R=5$ — đúng. Tâm đường tròn giao tuyến là hình chiếu vuông góc của $I$ lên $(P)$, tính được bằng $H=I-\dfrac{9}{9}\vec{n}=(0;-4;3)$.
$(P)$ cắt $(S)$ theo đường tròn bán kính $r=4$, tâm $H(0;-4;3)$.
Lấy $r=R-d=2$ (trừ thẳng thay vì Pythagore) — nhỏ hơn đáp số đúng một nửa. Lấy $r=R=5$ là quên hẳn mặt phẳng không đi qua tâm. Đọc $R=25$ từ vế phải thì $r=\sqrt{625-9}\approx 24{,}8$, một con số vô lý so với đề. Quên chia cho $\left|\vec{n}\right|$ cho $d=9\gt R$ và kết luận ngược hẳn là “không có điểm chung”.
Đổi hằng số của $(P)$ từ $+14$ thành $+20$ thì $d=\dfrac{15}{3}=5=R$: chuyển sang tiếp xúc, giao tuyến thu về một điểm và $r=0$. Đổi thành $+23$ thì $d=6\gt R$: không có điểm chung, lúc này công thức $r=\sqrt{R^2-d^2}$ hỏng vì căn của số âm.