Một mặt phẳng được xác định bởi một điểm và một hướng vuông góc với nó. Đường thẳng thì ngược lại: nó được xác định bởi một điểm và một hướng nằm dọc theo nó. Toàn bộ bài học này xoay quanh sự đối lập đó, và cũng chính chỗ này sinh ra lỗi nhiều nhất — lẫn vectơ chỉ phương với vectơ pháp tuyến.
Vectơ $\vec{u}\ne\vec{0}$ gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ nếu giá của nó song song hoặc trùng với $d$. Một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương, chúng đôi một cùng phương: nếu $\vec{u}$ là vectơ chỉ phương thì $k\vec{u}$ với $k\ne 0$ cũng vậy. Vì thế $(2;-4;6)$ và $(1;-2;3)$ chỉ cùng một hướng, được phép rút gọn thoải mái.
Hai nguồn cấp vectơ chỉ phương hay dùng nhất: đường thẳng đi qua hai điểm $A$, $B$ thì nhận $\vec{AB}$ làm vectơ chỉ phương; đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $(P)$ thì nhận chính vectơ pháp tuyến $\vec{n}$ của $(P)$ làm vectơ chỉ phương.
| Dạng | Công thức | Điều kiện dùng được |
|---|---|---|
| Tham số | $x=x_0+at$, $y=y_0+bt$, $z=z_0+ct$ với $t\in\mathbb{R}$ | Luôn dùng được |
| Chính tắc | $\dfrac{x-x_0}{a}=\dfrac{y-y_0}{b}=\dfrac{z-z_0}{c}$ | Chỉ khi $abc\ne 0$ |
Trong cả hai dạng, $M_0(x_0;y_0;z_0)$ là một điểm thuộc đường thẳng và $\vec{u}=(a;b;c)$ là vectơ chỉ phương. Đọc ngược lại cũng phải nhanh như vậy: nhìn $\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+2}{-1}=\dfrac{z}{3}$ là biết ngay $d$ qua $M_0(1;-2;0)$ với $\vec{u}=(2;-1;3)$. Chú ý dấu: mẫu số là hệ số của $t$, còn số trừ ở tử là toạ độ điểm, nên $y+2$ ứng với $y_0=-2$ chứ không phải $2$.
Ba cách lập phương trình thường gặp: qua một điểm và biết vectơ chỉ phương thì thay thẳng vào công thức; qua hai điểm $A$, $B$ thì lấy $\vec{u}=\vec{AB}$ rồi dùng điểm $A$; qua một điểm và song song với đường thẳng $d'$ thì mượn vectơ chỉ phương của $d'$, sau đó phải kiểm điểm đã cho không nằm trên $d'$ để tránh hai đường thẳng trùng nhau.
Cho $d_1$ qua $M_1$ với vectơ chỉ phương $\vec{u_1}$, và $d_2$ qua $M_2$ với vectơ chỉ phương $\vec{u_2}$. Quy trình bốn bước, làm đúng thứ tự thì không bao giờ kết luận nhầm:
| Bước | Kiểm gì | Kết luận |
|---|---|---|
| 1 | $\left[\vec{u_1},\vec{u_2}\right]=\vec{0}$ và $M_1\in d_2$ | Trùng nhau |
| 2 | $\left[\vec{u_1},\vec{u_2}\right]=\vec{0}$ và $M_1\notin d_2$ | Song song |
| 3 | $\left[\vec{u_1},\vec{u_2}\right]\ne\vec{0}$ và $\left[\vec{u_1},\vec{u_2}\right]\cdot\vec{M_1M_2}=0$ | Cắt nhau |
| 4 | $\left[\vec{u_1},\vec{u_2}\right]\ne\vec{0}$ và $\left[\vec{u_1},\vec{u_2}\right]\cdot\vec{M_1M_2}\ne 0$ | Chéo nhau |
Cách làm bằng hệ phương trình cũng đúng: cho từng toạ độ của hai đường thẳng bằng nhau, giải hệ ba phương trình hai ẩn $t$ và $s$. Hệ có đúng một nghiệm là cắt nhau, vô nghiệm mà hai vectơ chỉ phương không cùng phương là chéo nhau, vô số nghiệm là trùng nhau. Nhưng nhớ dùng hai tham số khác tên: viết chung một chữ $t$ cho cả hai đường thẳng là ép chúng chạy cùng nhịp, hệ thành vô nghiệm giả và ta kết luận chéo nhau oan.
Góc giữa hai đường thẳng $d_1$, $d_2$ luôn nằm trong $[0^\circ;90^\circ]$, nên công thức bắt buộc có dấu giá trị tuyệt đối: $$\cos\left(d_1,d_2\right)=\dfrac{\left|\vec{u_1}\cdot\vec{u_2}\right|}{\left|\vec{u_1}\right|\cdot\left|\vec{u_2}\right|}.$$ Góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ cũng nằm trong $[0^\circ;90^\circ]$ nhưng dùng sin, vì $\vec{u}$ và $\vec{n}$ vuông góc nhau khi $d$ song song với $(P)$: $$\sin\left(d,(P)\right)=\dfrac{\left|\vec{u}\cdot\vec{n}\right|}{\left|\vec{u}\right|\cdot\left|\vec{n}\right|}.$$ Nhớ sai chỗ sin – cos này là kết quả lệch đúng $90^\circ$ trừ đi giá trị thật, một sai số rất khó phát hiện vì con số vẫn trông hợp lý.
Điểm $M$ nằm trên $d$ khi và chỉ khi $\vec{M_0M}$ cùng phương với $\vec{u}$, tức $\vec{M_0M}=t\vec{u}$ với một số thực $t$ nào đó. Viết theo toạ độ là ra ngay ba phương trình tham số. Như vậy $t$ không phải kí hiệu trang trí mà là “số bước” đi từ $M_0$ theo vectơ $\vec{u}$: $t=0$ cho chính $M_0$, $t=1$ cho điểm cách $M_0$ đúng một lần $\vec{u}$, $t$ âm thì đi ngược lại. Hiểu vậy thì bài “xét điểm có thuộc đường thẳng không” chỉ còn là câu hỏi: có một giá trị $t$ nào thoả đủ cả ba phương trình không.
Một công thức gọn nên nhớ để tách nhanh cắt nhau với chéo nhau khi hai vectơ chỉ phương đã không cùng phương:
$$\left[\vec{u_1},\vec{u_2}\right]\cdot\vec{M_1M_2}=0\ \Leftrightarrow\ d_1,\ d_2\ \text{đồng phẳng}\ \Leftrightarrow\ d_1,\ d_2\ \text{cắt nhau}.$$Đây chính là tiêu chuẩn đồng phẳng ở bài trước, dùng lại nguyên vẹn: bốn điểm tạo thành khối hộp bẹt thì hai đường cùng nằm trong một mặt phẳng, mà hai đường đồng phẳng không song song thì bắt buộc cắt nhau.
Đề cho đủ một điểm và một vectơ chỉ phương, chỉ việc thay vào hai khuôn. Toạ độ điểm thành hằng số, toạ độ vectơ chỉ phương thành hệ số của $t$.
Rút $t$ từ cả ba phương trình rồi cho bằng nhau. Được phép làm vì cả ba thành phần của $\vec{u}$ đều khác $0$:
$$\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y+1}{-2}=\dfrac{z-3}{4}.$$Dấu trừ thuộc về mẫu số (vì $\vec{u}$ có thành phần $-2$), còn tử số là $y-y_0=y-(-1)=y+1$.
Cho $t=1$ vào phương trình tham số được điểm $(3;-3;7)$. Thay vào dạng chính tắc: $\dfrac{3-2}{1}=1$, $\dfrac{-3+1}{-2}=1$, $\dfrac{7-3}{4}=1$ — ba tỉ số bằng nhau nên hai dạng mô tả cùng một đường thẳng.
$d:\ x=2+t,\ y=-1-2t,\ z=3+4t$, hay $\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y+1}{-2}=\dfrac{z-3}{4}$.
Viết $\dfrac{y-1}{2}$ là sai cả điểm lẫn hướng: đường thẳng đó đi qua $(2;1;3)$ với vectơ chỉ phương $(1;2;4)$, không có điểm nào chung với $d$ ngoài trường hợp tình cờ. Chuyển toạ độ điểm thành hệ số của $t$ (viết $x=1+2t$) là đổi vai trò của điểm và vectơ, cho ra một đường thẳng khác hẳn.
Đổi $\vec{u}$ thành $(0;-2;4)$ thì không viết được dạng chính tắc đủ ba phân số: phải ghi $x=2$ và $\dfrac{y+1}{-2}=\dfrac{z-3}{4}$. Còn đổi $\vec{u}$ thành $(2;-4;8)$ thì vẫn là đúng đường thẳng đó, chỉ là mỗi bước $t$ đi xa gấp đôi.
Đường thẳng qua hai điểm nhận chính vectơ nối hai điểm làm vectơ chỉ phương — khác hẳn bài mặt phẳng, nơi $\vec{AB}$ nằm trong mặt phẳng và không được làm pháp tuyến.
$$\vec{AB}=(4-1;\ -1-2;\ 1-(-3))=(3;-3;4).$$Từ hoành độ: $7=1+3t$ cho $t=2$. Thay $t=2$:
$$y=2-3\cdot 2=-4\ \checkmark,\qquad z=-3+4\cdot 2=5\ \checkmark.$$Cùng một giá trị $t$ thoả cả ba phương trình nên $N$ thuộc đường thẳng $AB$.
$\vec{AN}=(6;-6;8)=2\vec{AB}$: hai vectơ cùng phương và cùng gốc $A$ nên ba điểm thẳng hàng. Hệ số $2$ chính là giá trị $t$ vừa tìm được — hai đường tính khớp nhau.
$AB:\ x=1+3t,\ y=2-3t,\ z=-3+4t$; điểm $N(7;-4;5)$ thuộc đường thẳng này (ứng $t=2$).
Chỉ thử hai toạ độ rồi kết luận. Điểm $P(7;-4;0)$ khớp $x$ và $y$ với $t=2$ nhưng cao độ phải là $5$ chứ không phải $0$, nên $P$ nằm ngoài đường thẳng — thiếu phép thử thứ ba là nhận nhầm. Lấy $\vec{BA}=(-3;3;-4)$ làm vectơ chỉ phương thì vẫn đúng đường thẳng, nhưng lúc đó $N$ ứng $t=-2$; thấy $t$ âm rồi kết luận “không thuộc” là sai, vì $t$ chạy khắp $\mathbb{R}$.
Đổi câu hỏi thành “tìm $m$ để $Q(7;m;5)$ thuộc $AB$” thì lấy $t=2$ từ hoành độ, suy ra $m=-4$ — duy nhất một giá trị. Còn đổi thành $Q(8;m;5)$ thì $t=\dfrac{7}{3}$ từ hoành độ nhưng cao độ đòi $t=2$: vô nghiệm, không có $m$ nào cả.
Tính $\left[\vec{u_1},\vec{u_2}\right]$: thành phần thứ nhất $1\cdot 1-(-1)\cdot(-1)=0$; thứ hai $(-1)\cdot 1-2\cdot 1=-3$; thứ ba $2\cdot(-1)-1\cdot 1=-3$.
$$\left[\vec{u_1},\vec{u_2}\right]=(0;-3;-3)\ne\vec{0}$$Hai vectơ chỉ phương không cùng phương, nên loại ngay hai khả năng song song và trùng nhau. Còn lại: cắt nhau hoặc chéo nhau.
$\vec{M_1M_2}=(-1;1;1)$, do đó
$$\left[\vec{u_1},\vec{u_2}\right]\cdot\vec{M_1M_2}=0\cdot(-1)+(-3)\cdot 1+(-3)\cdot 1=-6\ne 0.$$Khác $0$ nghĩa là bốn điểm $M_1$, $M_2$ và hai điểm ngọn của hai vectơ chỉ phương không đồng phẳng, nên hai đường thẳng chéo nhau.
Góc giữa hai đường thẳng chỉ phụ thuộc hai vectơ chỉ phương, không phụ thuộc chúng có gặp nhau hay không:
$$\vec{u_1}\cdot\vec{u_2}=2\cdot 1+1\cdot(-1)+(-1)\cdot 1=0\ \Rightarrow\ \cos\left(d_1,d_2\right)=0\ \Rightarrow\ \left(d_1,d_2\right)=90^\circ.$$Thử giải trực tiếp hệ tìm điểm chung, nhớ dùng hai tham số: $1+2t=s$, $t=1-s$, $2-t=3+s$. Từ hai phương trình đầu: $1+2t=1-t$ cho $t=0$, $s=1$; thay vào phương trình thứ ba: vế trái $2$, vế phải $4$ — vô nghiệm, đúng với kết luận chéo nhau.
$d_1$ và $d_2$ chéo nhau, và góc giữa chúng bằng $90^\circ$.
Dùng chung một chữ $t$ cho cả hai đường thẳng: hệ sẽ vô nghiệm ngay cả khi hai đường cắt nhau, nên kết luận “chéo nhau” có thể đúng vì may. Thấy $\vec{u_1}\cdot\vec{u_2}=0$ rồi kết luận hai đường cắt nhau và vuông góc là nhầm: vuông góc nói về hướng, cắt nhau nói về điểm chung, hai chuyện độc lập. Bỏ trị tuyệt đối ở công thức côsin thì có bài sẽ ra góc tù, điều không bao giờ đúng với góc giữa hai đường thẳng.
Đổi $M_2$ thành $M_2'(1;1;1)$ thì $\vec{M_1M_2'}=(0;1;-1)$ và tích hỗn tạp bằng $0+(-3)+3=0$: hai đường chuyển từ chéo nhau sang cắt nhau, trong khi góc giữa chúng vẫn là $90^\circ$ vì hai vectơ chỉ phương không đổi. Điểm mốc chỉ đổi vị trí tương đối, không đổi góc.