Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, mọi mặt phẳng đều được mô tả trọn vẹn bởi hai dữ kiện: một điểm mà nó đi qua và một hướng vuông góc với nó. Hướng đó chính là vectơ pháp tuyến.
Vectơ $\vec{n}\ne\vec{0}$ gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ nếu giá của nó vuông góc với $(P)$. Một mặt phẳng có vô số vectơ pháp tuyến, chúng đôi một cùng phương: nếu $\vec{n}$ là vectơ pháp tuyến thì $k\vec{n}$ với $k\ne 0$ cũng vậy. Vì thế $(2;-3;1)$ và $(-4;6;-2)$ cùng chỉ một hướng pháp tuyến.
Nếu $(P)$ chứa hai vectơ không cùng phương $\vec{u}$ và $\vec{v}$ thì một vectơ pháp tuyến của $(P)$ là tích có hướng $\vec{n}=\left[\vec{u},\vec{v}\right]$. Với $\vec{u}=(u_1;u_2;u_3)$ và $\vec{v}=(v_1;v_2;v_3)$ thì $$\left[\vec{u},\vec{v}\right]=\left(u_2v_3-u_3v_2\ ;\ u_3v_1-u_1v_3\ ;\ u_1v_2-u_2v_1\right).$$
Mặt phẳng đi qua $M_0(x_0;y_0;z_0)$ và nhận $\vec{n}=(A;B;C)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình $$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0,$$ khai triển ra được dạng tổng quát $Ax+By+Cz+D=0$ với $A^2+B^2+C^2\gt 0$ và $D=-(Ax_0+By_0+Cz_0)$.
Chiều ngược lại quan trọng không kém: nhìn một phương trình $Ax+By+Cz+D=0$ là đọc ngay ra vectơ pháp tuyến $(A;B;C)$. Hằng số $D$ không tham gia vào vectơ pháp tuyến — nó chỉ tịnh tiến mặt phẳng, không đổi hướng của nó.
| Dữ kiện cho | Cách làm | Kết quả |
|---|---|---|
| Một điểm $M_0$ và một vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(A;B;C)$ | Thay thẳng vào công thức | $A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$ |
| Ba điểm $A$, $B$, $C$ không thẳng hàng | Lấy $\vec{n}=\left[\vec{AB},\vec{AC}\right]$ rồi dùng điểm $A$ | Về lại trường hợp trên |
| Cắt ba trục tại $A(a;0;0)$, $B(0;b;0)$, $C(0;0;c)$ với $abc\ne 0$ | Dùng phương trình theo đoạn chắn | $\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1$ |
Một biến thể hay gặp: mặt phẳng đi qua $M_0$ và song song với $(Q): Ax+By+Cz+D'=0$ thì giữ nguyên bộ $(A;B;C)$, chỉ tìm lại hằng số tự do bằng cách thay toạ độ $M_0$ vào.
Cho $(P): A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0$ và $(Q): A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0$ với các vectơ pháp tuyến $\vec{n_1}$, $\vec{n_2}$.
Với $M(x_M;y_M;z_M)$ và $(P): Ax+By+Cz+D=0$ thì $$d\left(M,(P)\right)=\dfrac{\left|Ax_M+By_M+Cz_M+D\right|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.$$
Hai chỗ hay hỏng: tử số phải lấy giá trị tuyệt đối và phải cộng cả hằng số $D$; mẫu số là căn bậc hai của tổng bình phương ba hệ số, không phải chính tổng đó. Đặc biệt, nếu $(P)$ và $(Q)$ song song thì khoảng cách giữa chúng bằng khoảng cách từ một điểm bất kì của $(P)$ đến $(Q)$; muốn dùng công thức rút gọn $\dfrac{|D_1-D_2|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$ thì bắt buộc phải đưa hai phương trình về cùng một bộ hệ số $(A;B;C)$ trước đã.
Một điểm $X(x;y;z)$ thuộc $(P)$ khi và chỉ khi vectơ $\vec{MX}$ nằm trong mặt phẳng, tức vuông góc với $\vec{n}$. Viết điều kiện đó bằng tích vô hướng:
$$\vec{n}\cdot\vec{MX}=0\ \Longleftrightarrow\ A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0.$$Khai triển ra chính là $Ax+By+Cz+D=0$ với $D=-(Ax_0+By_0+Cz_0)$. Như vậy bộ ba $(A;B;C)$ quyết định hướng, còn $D$ quyết định vị trí: đổi $D$ thì mặt phẳng tịnh tiến song song với chính nó. Hiểu điều này thì bài “viết mặt phẳng song song với $(P)$” chỉ còn là việc giữ nguyên $(A;B;C)$ và tìm lại một số $D$.
Đề cho đủ một điểm và một vectơ pháp tuyến — đây là trường hợp cơ bản nhất, thay thẳng vào khuôn $A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$ với $A=1$, $B=-2$, $C=4$ và $M(3;-1;2)$.
Vì $y_0=-1$ nên trong ngoặc phải là $y-(-1)=y+1$:
$$1\cdot(x-3)-2\cdot(y+1)+4\cdot(z-2)=0.$$Thứ nhất, thay $M$ vào vế trái: $3-2\cdot(-1)+4\cdot 2-13=3+2+8-13=0$ — điểm $M$ thuộc $(P)$. Thứ hai, đọc lại hệ số của $x$, $y$, $z$: đúng bằng $(1;-2;4)$ — pháp tuyến đúng. Hai phép thử này khóa chặt cả hướng lẫn vị trí, không còn chỗ sai nào lọt qua.
$(P): x-2y+4z-13=0$.
Viết $y-1$ thay vì $y+1$ cho $x-2y+4z-9=0$; thay $M$ vào được $4\ne 0$ nên mặt phẳng đó không đi qua $M$. Đổi dấu hằng số thành $x-2y+4z+13=0$ thì ra một mặt phẳng song song, cách $(P)$ một khoảng $\dfrac{26}{\sqrt{21}}$ — vẫn đúng hướng nhưng sai vị trí.
Đổi $\vec{n}$ thành $(2;-4;8)$ thì phương trình ra $2x-4y+8z-26=0$ — cùng một mặt phẳng, chỉ nhân đôi hai vế. Còn đổi điểm $M$ thành $M'(3;1;2)$ thì hằng số đổi thành $-9$: hướng giữ nguyên, mặt phẳng tịnh tiến đi.
Ba điểm không thẳng hàng xác định một mặt phẳng, nhưng khuôn công thức vẫn đòi một vectơ pháp tuyến. Dựng hai vectơ nằm trong mặt phẳng rồi lấy tích có hướng:
$$\vec{AB}=(1;1;-2),\qquad \vec{AC}=(-1;2;-1).$$Thành phần thứ nhất $1\cdot(-1)-(-2)\cdot 2=3$; thành phần thứ hai $(-2)\cdot(-1)-1\cdot(-1)=3$; thành phần thứ ba $1\cdot 2-1\cdot(-1)=3$.
$$\left[\vec{AB},\vec{AC}\right]=(3;3;3)\ \parallel\ (1;1;1)\ \Rightarrow\ \vec{n}=(1;1;1).$$Được phép rút gọn vì pháp tuyến chỉ cần đúng hướng, không cần đúng độ dài.
Dùng $A(1;0;2)$:
$$(x-1)+(y-0)+(z-2)=0\ \Longleftrightarrow\ x+y+z-3=0.$$$A: 1+0+2-3=0$; $B: 2+1+0-3=0$; $C: 0+2+1-3=0$. Cả ba đều thoả nên phương trình đúng. Phải thử đủ ba, vì thử mỗi điểm đã dùng để viết thì luôn đúng, không phát hiện được lỗi ở pháp tuyến.
$(ABC): x+y+z-3=0$.
Lấy luôn $\vec{AB}=(1;1;-2)$ làm pháp tuyến cho $x+y-2z+3=0$; thử $B$ được $2+1-0+3=6\ne 0$, sai lộ ngay. Sai dấu thành phần giữa của tích có hướng cho $\vec{n}=(3;-3;3)$ và phương trình $x-y+z-3=0$; điểm $C$ khi đó cho $0-2+1-3=-4\ne 0$.
Đổi $C$ thành $C'(3;2;-2)$ thì $\vec{AC'}=(2;2;-4)=2\vec{AB}$, tích có hướng bằng $\vec{0}$: ba điểm thẳng hàng và không có mặt phẳng duy nhất. Đó là lý do phải nhìn tích có hướng trước khi viết đáp số.
Việc một là tính khoảng cách từ một điểm tới mặt phẳng; việc hai là viết mặt phẳng song song đi qua chính điểm đó. Cả hai đều xoay quanh một đại lượng: vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(2;-2;1)$ với $\left|\vec{n}\right|=3$.
Mẫu số là căn của $9$, tức $3$, chứ không phải $9$.
Song song thì chung pháp tuyến, nên $(Q): 2x-2y+z+m=0$. Thay $M(1;-2;1)$: $2+4+1+m=0$, suy ra $m=-7$. Vì $-7\ne 3$ nên $(Q)$ thật sự khác $(P)$ — nếu hai hằng số trùng nhau thì hai mặt phẳng trùng nhau, không phải song song.
Hai mặt phẳng đã cùng bộ hệ số $(2;-2;1)$ nên dùng được công thức rút gọn:
$$d\left((P),(Q)\right)=\dfrac{\left|3-(-7)\right|}{3}=\dfrac{10}{3},$$trùng với kết quả ở bước 2 — đúng như phải thế, vì $M$ nằm trên $(Q)$.
$d\left(M,(P)\right)=\dfrac{10}{3}$ và $(Q): 2x-2y+z-7=0$.
Quên dấu căn ở mẫu cho $\dfrac{10}{9}$, nhỏ hơn đáp số đúng ba lần. Quên hằng số $+3$ khi thay điểm cho tử số $7$ và $d=\dfrac{7}{3}$. Ở phần hai, lấy $m=7$ (quên đổi dấu khi chuyển vế) cho $(Q'): 2x-2y+z+7=0$, mặt phẳng này không chứa $M$ và cách $(P)$ chỉ $\dfrac{4}{3}$.
Nếu đề viết $(P)$ dưới dạng $4x-4y+2z+6=0$ (nhân đôi) thì khoảng cách không đổi, vẫn là $\dfrac{20}{6}=\dfrac{10}{3}$, vì cả tử và mẫu cùng nhân $2$. Nhưng nếu lấy hiệu hằng số $\left|6-(-7)\right|$ rồi chia $3$ thì ra $\dfrac{13}{3}$ — sai, vì hai phương trình chưa cùng bộ hệ số.