Hệ toạ độ $Oxyz$ trong không gian gồm ba trục $Ox$, $Oy$, $Oz$ đôi một vuông góc, với ba vectơ đơn vị $\vec{i}=(1;0;0)$, $\vec{j}=(0;1;0)$, $\vec{k}=(0;0;1)$. Toàn bộ chương này đứng trên một ý tưởng duy nhất: đổi hình học thành số. Mọi điểm, mọi vectơ đều được thay bằng một bộ ba số, và mọi câu hỏi hình học (dài bao nhiêu, vuông góc không, diện tích bằng mấy) đều trở thành một phép tính.
Điểm $M$ có toạ độ $(x;y;z)$ nghĩa là $\vec{OM}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$. Vectơ $\vec{a}$ có toạ độ $(a_1;a_2;a_3)$ nghĩa là $\vec{a}=a_1\vec{i}+a_2\vec{j}+a_3\vec{k}$. Hai khái niệm này viết giống hệt nhau nhưng không cùng bản chất: điểm gắn với một vị trí, vectơ chỉ mang hướng và độ dài nên tịnh tiến đi đâu vẫn là chính nó.
Với $A(x_A;y_A;z_A)$ và $B(x_B;y_B;z_B)$ thì $$\vec{AB}=(x_B-x_A\ ;\ y_B-y_A\ ;\ z_B-z_A),$$ tức ngọn trừ gốc, không bao giờ ngược lại. Trung điểm $I$ của $AB$ có toạ độ trung bình cộng của hai đầu mút; trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ có toạ độ trung bình cộng của ba đỉnh.
| Phép toán | Công thức toạ độ | Dùng để làm gì |
|---|---|---|
| $\vec{a}\pm\vec{b}$ | $(a_1\pm b_1\ ;\ a_2\pm b_2\ ;\ a_3\pm b_3)$ | Cộng trừ vectơ, tìm điểm thứ tư của hình bình hành |
| $k\vec{a}$ | $(ka_1;ka_2;ka_3)$ | Rút gọn vectơ chỉ phương, vectơ pháp tuyến |
| $\vec{a}\cdot\vec{b}$ (tích vô hướng) | $a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$ | Kiểm vuông góc, tính góc — kết quả là một số |
| $\left|\vec{a}\right|$ | $\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$ | Độ dài vectơ, độ dài đoạn thẳng |
| $\cos\left(\vec{a},\vec{b}\right)$ | $\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\left|\vec{a}\right|\cdot\left|\vec{b}\right|}$ | Góc giữa hai vectơ, nhận giá trị trong $[-1;1]$ |
| $\left[\vec{a},\vec{b}\right]$ (tích có hướng) | $(a_2b_3-a_3b_2\ ;\ a_3b_1-a_1b_3\ ;\ a_1b_2-a_2b_1)$ | Dựng vectơ vuông góc với cả hai — kết quả là một vectơ |
Hai hệ quả dùng liên tục: $\vec{a}\perp\vec{b}\Leftrightarrow\vec{a}\cdot\vec{b}=0$ và $\vec{a}$ cùng phương $\vec{b}\Leftrightarrow\left[\vec{a},\vec{b}\right]=\vec{0}$.
Cách nhớ ít sai nhất là viết hai bộ số thành hai hàng rồi lần lượt che cột thứ nhất, cột thứ hai, cột thứ ba; mỗi lần che lấy tích chéo trừ tích chéo. Riêng thành phần giữa phải nhớ là $a_3b_1-a_1b_3$ (đảo thứ tự so với hai thành phần kia) — quên chỗ này là sai dấu thành phần thứ hai, lỗi phổ biến nhất của cả chương.
| Đại lượng | Công thức | Ghi chú |
|---|---|---|
| Diện tích hình bình hành dựng trên $\vec{a}$, $\vec{b}$ | $\left|\left[\vec{a},\vec{b}\right]\right|$ | Không chia cho $2$ |
| Diện tích tam giác $ABC$ | $\dfrac{1}{2}\left|\left[\vec{AB},\vec{AC}\right]\right|$ | Chia $2$ |
| Thể tích khối hộp dựng trên $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ | $\left|\left[\vec{a},\vec{b}\right]\cdot\vec{c}\right|$ | Không chia |
| Thể tích khối tứ diện $ABCD$ | $\dfrac{1}{6}\left|\left[\vec{AB},\vec{AC}\right]\cdot\vec{AD}\right|$ | Chia $6$, không phải $3$ |
Ba vectơ $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ đồng phẳng khi và chỉ khi $$\left[\vec{a},\vec{b}\right]\cdot\vec{c}=0.$$ Số $\left[\vec{a},\vec{b}\right]\cdot\vec{c}$ gọi là tích hỗn tạp; về ý nghĩa nó chính là thể tích khối hộp có dấu, nên bằng $0$ đúng lúc khối hộp bị bẹp thành hình phẳng. Từ đó: bốn điểm $A$, $B$, $C$, $D$ đồng phẳng khi và chỉ khi $\left[\vec{AB},\vec{AC}\right]\cdot\vec{AD}=0$; ngược lại, khác $0$ thì bốn điểm tạo thành một tứ diện thật sự và thể tích của nó bằng một phần sáu giá trị tuyệt đối đó.
Ba hệ số $1$, $\dfrac{1}{2}$, $\dfrac{1}{6}$ không phải quy ước học thuộc. Độ dài $\left|\left[\vec{a},\vec{b}\right]\right|$ chính là diện tích hình bình hành dựng trên hai vectơ (vì $\left|\left[\vec{a},\vec{b}\right]\right|=\left|\vec{a}\right|\left|\vec{b}\right|\sin\varphi$, đúng công thức “đáy nhân chiều cao”). Tam giác là một nửa hình bình hành nên chia $2$. Còn khối tứ diện chiếm đúng một phần sáu khối hộp dựng trên ba vectơ, vì $V_{\text{tứ diện}}=\dfrac{1}{3}S_{\text{đáy}}h$ trong khi khối hộp là $S_{\text{hình bình hành}}h=2S_{\text{đáy}}h$; lấy tỉ số hai số này được $\dfrac{1}{6}$. Nhớ được lý do thì không bao giờ lẫn $\dfrac{1}{6}$ với $\dfrac{1}{3}$.
Ba câu hỏi đều là áp dụng trực tiếp bảng công thức, nhưng kết quả thuộc hai loại khác nhau: $\vec{a}+2\vec{b}$ là một vectơ (bộ ba số), còn $\vec{a}\cdot\vec{b}$ và $\left|\vec{a}\right|$ là hai số. Viết sai loại là sai ngay trước khi tính.
Hệ số $2$ phải nhân vào cả ba thành phần của $\vec{b}$:
$$2\vec{b}=\left(2\cdot(-1);\ 2\cdot 2;\ 2\cdot 1\right)=(-2;4;2),$$$$\vec{a}+2\vec{b}=(3-2;\ 1+4;\ -2+2)=(1;5;0).$$Thành phần thứ ba bằng $0$ nghĩa là vectơ tổng nằm trong mặt phẳng $Oxy$ — một thông tin hình học đọc được ngay.
Dấu của tích vô hướng đã trả lời luôn câu hỏi về góc: $-3\lt 0$ nên góc giữa hai vectơ là góc tù, không cần tính $\cos$.
Kiểm độ dài bằng ước lượng: $\sqrt{14}$ phải nằm giữa $3$ và $4$, và phải lớn hơn thành phần lớn nhất là $3$ nhưng nhỏ hơn tổng $3+1+2=6$. Cả hai đều thoả. Kiểm tích vô hướng bằng bất đẳng thức $\left|\vec{a}\cdot\vec{b}\right|\le\left|\vec{a}\right|\left|\vec{b}\right|$: vế phải là $\sqrt{14}\cdot\sqrt{6}\approx 9{,}2$, lớn hơn $3$, hợp lệ.
$\vec{a}+2\vec{b}=(1;5;0)$; $\vec{a}\cdot\vec{b}=-3$; $\left|\vec{a}\right|=\sqrt{14}$.
Chỉ nhân hệ số $2$ vào thành phần đầu của $\vec{b}$ thì ra $(1;3;-1)$ thay vì $(1;5;0)$. Viết $\vec{a}\cdot\vec{b}=(-3;2;-2)$ là nhầm tích vô hướng thành phép nhân từng thành phần. Quên dấu căn cho $\left|\vec{a}\right|=14$, lớn gấp gần bốn lần đáp số đúng.
Đổi $\vec{a}+2\vec{b}$ thành $\vec{a}-2\vec{b}$ thì đáp số là $(5;-3;-4)$, không còn nằm trong $Oxy$. Còn đổi $\vec{b}$ thành $(1;-2;-1)$ (lấy vectơ đối) thì $\vec{a}\cdot\vec{b}$ đổi dấu thành $3$, và góc giữa hai vectơ chuyển từ tù sang nhọn.
Muốn dùng tích có hướng để tính diện tích tam giác thì hai vectơ phải xuất phát từ cùng một đỉnh. Chọn đỉnh $A$:
$$\vec{AB}=(2-0;\ 2-1;\ 4-2)=(2;1;2),\qquad \vec{AC}=(1-0;\ 3-1;\ 1-2)=(1;2;-1).$$Thành phần thứ nhất $1\cdot(-1)-2\cdot 2=-5$; thành phần thứ hai đảo thứ tự $2\cdot 1-2\cdot(-1)=4$; thành phần thứ ba $2\cdot 2-1\cdot 1=3$.
$$\left[\vec{AB},\vec{AC}\right]=(-5;4;3).$$Tích có hướng phải vuông góc với cả hai vectơ ban đầu, nên hai tích vô hướng dưới đây bắt buộc bằng $0$:
$$(-5)\cdot 2+4\cdot 1+3\cdot 2=-10+4+6=0,\qquad (-5)\cdot 1+4\cdot 2+3\cdot(-1)=-5+8-3=0.$$Phép kiểm này mất $10$ giây và bắt được gần như mọi lỗi dấu ở thành phần giữa.
$\left[\vec{AB},\vec{AC}\right]=(-5;4;3)$ và $S_{ABC}=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}\approx 3{,}54$.
Nhớ thành phần giữa là $a_1b_3-a_3b_1$ thì ra $(-5;-4;3)$; vectơ này nhân vô hướng với $\vec{AB}$ cho $-10-4+6=-8\ne 0$ — sai lộ ngay ở phép kiểm. Quên chia $2$ thì ra $5\sqrt{2}\approx 7{,}07$, đúng gấp đôi đáp số, vì đó là diện tích hình bình hành chứ không phải tam giác.
Dựng hai vectơ từ hai đỉnh khác nhau, chẳng hạn $\left[\vec{AB},\vec{BC}\right]$, thì độ lớn vẫn ra $5\sqrt{2}$ (vì $\vec{BC}=\vec{AC}-\vec{AB}$ nên tích có hướng không đổi), nhưng lập luận không còn khớp công thức đã học. Còn nếu đề hỏi diện tích hình bình hành $ABDC$ thì bỏ hẳn hệ số $\dfrac{1}{2}$, đáp số là $5\sqrt{2}$.
Tích hỗn tạp $\left[\vec{AB},\vec{AC}\right]\cdot\vec{AD}$ vừa là tiêu chuẩn đồng phẳng (bằng $0$ hay không), vừa cho luôn thể tích. Không cần hai lần tính.
$$\vec{AB}=(2;1;1),\qquad \vec{AC}=(1;3;0),\qquad \vec{AD}=(-2;1;1).$$Thành phần thứ nhất $1\cdot 0-1\cdot 3=-3$; thành phần thứ hai $1\cdot 1-2\cdot 0=1$; thành phần thứ ba $2\cdot 3-1\cdot 1=5$.
$$\left[\vec{AB},\vec{AC}\right]=(-3;1;5),\qquad \left[\vec{AB},\vec{AC}\right]\cdot\vec{AD}=6+1+5=12.$$Vì $12\ne 0$ nên ba vectơ không đồng phẳng, tức bốn điểm không đồng phẳng. Con số $12$ chính là thể tích khối hộp dựng trên ba vectơ, nên
$$V_{ABCD}=\dfrac{1}{6}\cdot\left|12\right|=2.$$Tính thể tích theo $V=\dfrac{1}{3}S_{ABC}\cdot d\left(D,(ABC)\right)$: ở trên đã có $\left|\left[\vec{AB},\vec{AC}\right]\right|=\sqrt{9+1+25}=\sqrt{35}$ nên $S_{ABC}=\dfrac{\sqrt{35}}{2}$, còn khoảng cách từ $D$ tới mặt phẳng $(ABC)$ bằng $\dfrac{\left|12\right|}{\sqrt{35}}$. Nhân lại: $\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{\sqrt{35}}{2}\cdot\dfrac{12}{\sqrt{35}}=2$, trùng đáp số.
Bốn điểm không đồng phẳng và $V_{ABCD}=2$.
Dùng hệ số $\dfrac{1}{3}$ thay cho $\dfrac{1}{6}$ cho $V=4$, gấp đôi đáp số — $\dfrac{1}{3}$ chỉ xuất hiện trong công thức $V=\dfrac{1}{3}Sh$, nơi $S$ là diện tích tam giác đáy. Quên trị tuyệt đối thì khi đổi thứ tự hai vectơ đầu sẽ ra $V=-2$, một thể tích âm vô nghĩa. Lấy $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ nhưng $\vec{BD}$ (lẫn đỉnh gốc) cho $-8$ và $V=\dfrac{4}{3}$, sai hẳn.
Đổi $D$ thành $D'(-1;1;3)$ thì $\vec{AD'}=(-2;1;2)$ và tích hỗn tạp thành $6+1+10=17$, thể tích tăng lên $\dfrac{17}{6}$. Muốn bốn điểm đồng phẳng thì phải chọn $D$ sao cho tích hỗn tạp triệt tiêu, chẳng hạn $D(0;1;1)$ cho $\vec{AD}=(-1;1;0)$ và $3+1+0=4\ne 0$ — vẫn chưa đồng phẳng, phải giải phương trình mới tìm đúng điểm.