Cho hàm số $f$ liên tục trên đoạn $[a;b]$ và $F$ là một nguyên hàm bất kỳ của $f$ trên đoạn đó. Tích phân của $f$ từ $a$ đến $b$ được định nghĩa bởi
$$\int_{a}^{b} f(x)\,dx=F(x)\Big|_{a}^{b}=F(b)-F(a).$$
Kết quả này không phụ thuộc việc chọn nguyên hàm nào: nếu thay $F$ bằng $F+C$ thì hiệu $\big(F(b)+C\big)-\big(F(a)+C\big)$ vẫn bằng $F(b)-F(a)$. Đó là lý do khi tính tích phân ta không viết hằng số $C$ — khác hẳn khi tìm nguyên hàm. Tích phân là một số, còn nguyên hàm là một họ hàm số; nhầm hai đối tượng này là gốc của rất nhiều lỗi.
| Tính chất | Phát biểu | Điều kiện |
|---|---|---|
| Cận trùng nhau | $\displaystyle\int_{a}^{a} f(x)\,dx=0$ | $f$ liên tục tại $a$ |
| Đổi cận | $\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx=-\int_{b}^{a} f(x)\,dx$ | |
| Tuyến tính | $\displaystyle\int_{a}^{b}\big[\alpha f(x)+\beta g(x)\big]dx=\alpha\int_{a}^{b} f+\beta\int_{a}^{b} g$ | $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ |
| Tách cận | $\displaystyle\int_{a}^{b} f=\int_{a}^{c} f+\int_{c}^{b} f$ | $f$ liên tục trên đoạn chứa $a,b,c$ |
| Bảo toàn dấu | Nếu $f(x)\ge 0$ trên $[a;b]$ thì $\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx\ge 0$ | $a\lt b$ |
Với phép đặt $u=u(x)$, ta có
$$\int_{a}^{b} f\big(u(x)\big)u'(x)\,dx=\int_{u(a)}^{u(b)} f(u)\,du.$$
Điểm khác biệt lớn nhất so với nguyên hàm: khi đổi sang biến $u$ thì cận phải đổi theo. Cận mới là $u(a)$ và $u(b)$, không phải $a$ và $b$. Nếu giữ nguyên cận cũ, ta đang tính một tích phân hoàn toàn khác mà không có gì báo lỗi. Cách tránh: hoặc đổi cận ngay lúc đặt biến, hoặc tìm nguyên hàm theo biến $x$ cho xong rồi mới thay cận gốc.
$$\int_{a}^{b} u\,dv=uv\Big|_{a}^{b}-\int_{a}^{b} v\,du.$$
Cách chọn $u$ giống hệt phần nguyên hàm (ưu tiên lô – đa – lượng – mũ), chỉ thêm việc thay cận cho cụm $uv$.
a) Hình giới hạn bởi một đường cong và trục hoành. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y=f(x)$, trục $Ox$ và hai đường thẳng $x=a$, $x=b$ (với $a\lt b$) có diện tích
$$S=\int_{a}^{b}\big|f(x)\big|\,dx.$$
Dấu giá trị tuyệt đối là bắt buộc, vì diện tích không âm còn tích phân thì có thể âm. Cách làm chuẩn: giải $f(x)=0$ để tìm các nghiệm nằm trong $(a;b)$, chia $[a;b]$ thành các đoạn con mà trên mỗi đoạn $f$ giữ nguyên dấu, tính tích phân trên từng đoạn rồi cộng các giá trị tuyệt đối lại.
b) Hình giới hạn bởi hai đường cong. Hình phẳng giới hạn bởi $y=f(x)$ và $y=g(x)$ trên $[a;b]$ có diện tích
$$S=\int_{a}^{b}\big|f(x)-g(x)\big|\,dx.$$
Khi $a$, $b$ là hai hoành độ giao điểm liên tiếp thì trên khoảng giữa chúng hiệu $f-g$ không đổi dấu, nên chỉ cần xác định đường nào nằm trên rồi lấy trên trừ dưới là bỏ được dấu giá trị tuyệt đối.
Vì sao lấy trên trừ dưới là đủ, kể cả khi miền nằm dưới trục hoành. Tịnh tiến cả hai đường lên $k$ đơn vị không làm hình đổi diện tích, mà hiệu $f-g$ cũng không đổi. Chọn $k$ đủ lớn để cả hai đường lên trên trục hoành, khi đó diện tích bằng hiệu hai tích phân dương và bằng đúng $\displaystyle\int_{a}^{b}(f-g)\,dx$. Vì thế công thức đúng với mọi vị trí của hình so với trục hoành — điều duy nhất phải canh là đường nào nằm trên.
Cho hình phẳng giới hạn bởi $y=f(x)$, trục $Ox$, $x=a$, $x=b$ quay quanh trục $Ox$. Khối tròn xoay tạo thành có thể tích
$$V=\pi\int_{a}^{b} f^{2}(x)\,dx.$$
Ba chi tiết phải nhớ đủ: có hệ số $\pi$, hàm được bình phương, và vì $f^{2}(x)\ge 0$ nên ở đây không cần dấu giá trị tuyệt đối. Nếu khối được giới hạn bởi hai đường $y=f(x)$ (ngoài) và $y=g(x)$ (trong), cùng dấu và $|f|\ge|g|$ trên $[a;b]$, thì $V=\pi\displaystyle\int_{a}^{b}\big[f^{2}(x)-g^{2}(x)\big]dx$ — trừ bình phương, không phải bình phương của hiệu.
Ngoài ra, thể tích vật thể có thiết diện vuông góc với $Ox$ tại hoành độ $x$ với diện tích $S(x)$ là $V=\displaystyle\int_{a}^{b} S(x)\,dx$; công thức khối tròn xoay chỉ là trường hợp riêng với $S(x)=\pi f^{2}(x)$.
Hàm dưới dấu tích phân là đa thức, liên tục trên $\mathbb{R}$, nên liên tục trên $[0;2]$: công thức áp dụng được ngay, không cần chia đoạn.
Chọn hằng số bằng $0$ cho gọn — kết quả tích phân không phụ thuộc việc chọn hằng số nào, vì trong hiệu $F(b)-F(a)$ hằng số tự triệt tiêu.
$I=14$.
Hai phép thử. Một: đạo hàm $F$ phải ra lại hàm dưới dấu tích phân — $\left(x^{3}+2x^{2}-x\right)'=3x^{2}+4x-1$. Hai: ước lượng thô. Trên $[0;2]$ hàm chạy từ $-1$ tới $19$, giá trị trung bình cỡ $7$, nhân với độ dài đoạn bằng $2$ cho khoảng $14$ — khớp bậc độ lớn, nên chắc chắn không sai kiểu «thiếu một chữ số».
Thứ nhất, viết $I=14+C$: tích phân xác định là một số, không phải họ hàm số. Thứ hai, đảo thứ tự cận thành $F(0)-F(2)=-14$ — đúng bằng số đối. Nếu buộc phải đảo cận thì phải kèm dấu trừ trước tích phân.
Hàm triệt tiêu tại $x=\dfrac{-2+\sqrt{7}}{3}\approx 0{,}215$ nằm trong $(0;2)$, nên phải chia đoạn tại đó và cộng hai giá trị tuyệt đối. Diện tích khi ấy lớn hơn $14$, không còn bằng $14$ — cùng một hình vẽ, hai câu hỏi khác nhau cho hai đáp số khác nhau.
Đề không cho hai đường thẳng $x=a$, $x=b$, nên cận chính là hai nghiệm của phương trình $f(x)=0$:
$$x^{2}-3x=0\iff x(x-3)=0\iff x=0\ \text{hoặc}\ x=3.$$Parabol có hệ số $a=1\gt 0$ nên nằm dưới trục hoành ở giữa hai nghiệm. Kiểm nhanh bằng một điểm: $f(1)=1-3=-2\lt 0$. Vậy trên $(0;3)$:
$$\left|x^{2}-3x\right|=3x-x^{2}.$$Bước này là toàn bộ nội dung của dấu giá trị tuyệt đối trong công thức — bỏ qua nó là ra số âm.
$S=\dfrac{9}{2}$ (đơn vị diện tích).
Ước lượng: hình nằm gọn trong hình chữ nhật rộng $3$, cao bằng độ sâu lớn nhất $\left|f\left(\dfrac{3}{2}\right)\right|=\dfrac{9}{4}=2{,}25$, tức diện tích tối đa $6{,}75$; phần parabol chiếm khoảng hai phần ba, cho $\approx 4{,}5$ — đúng bằng $\dfrac{9}{2}$. (Công thức nhanh cho parabol: $S=\dfrac{|a|}{6}\left|x_{2}-x_{1}\right|^{3}=\dfrac{1}{6}\cdot 27=\dfrac{9}{2}$.)
Tính thẳng $\displaystyle\int_{0}^{3}\left(x^{2}-3x\right)dx=9-\dfrac{27}{2}=-\dfrac{9}{2}$. Kết quả âm là dấu hiệu chắc chắn đã bỏ bước xét dấu — diện tích không bao giờ âm. Đáng chú ý: $-\dfrac{9}{2}$ luôn có mặt trong bốn phương án.
Cận đổi thành nghiệm của $x^{2}-3x=x$, tức $x=0$ và $x=4$; trên $(0;4)$ đường thẳng nằm trên nên $S=\displaystyle\int_{0}^{4}\left[x-(x^{2}-3x)\right]dx=\displaystyle\int_{0}^{4}\left(4x-x^{2}\right)dx=32-\dfrac{64}{3}=\dfrac{32}{3}$. Cùng một parabol nhưng đổi đường giới hạn là đổi cả cận lẫn kết quả.
Đề cho đủ bốn đường giới hạn và trục quay là $Ox$, nên dùng thẳng
$$V=\pi\int_{a}^{b} f^{2}(x)\,dx\qquad\text{với}\quad f(x)=x+1,\ a=0,\ b=2.$$Ba chi tiết phải có đủ: hệ số $\pi$, hàm được bình phương, và không cần dấu giá trị tuyệt đối vì $f^{2}\ge 0$ sẵn.
Đây là bước hay bị bỏ sót nhất: quên bình phương là đang tính diện tích nhân $\pi$ chứ không phải thể tích.
$V=\dfrac{26\pi}{3}$ (đơn vị thể tích).
Thể tích nón cụt:
$$V=\dfrac{\pi h}{3}\left(R^{2}+Rr+r^{2}\right)=\dfrac{2\pi}{3}\left(9+3+1\right)=\dfrac{26\pi}{3}.\ \checkmark$$Trùng khớp. Đây là phép kiểm chéo hiếm hoi mà chương này có sẵn — dùng được mỗi khi đường sinh là một đoạn thẳng.
Tính $\pi\displaystyle\int_{0}^{2}(x+1)\,dx=\pi\left(\dfrac{x^{2}}{2}+x\right)\Big|_{0}^{2}=4\pi$ — nhỏ hơn hẳn đáp án đúng $\dfrac{26\pi}{3}\approx 8{,}67\pi$. Số $4\pi$ luôn nằm trong bốn phương án của dạng câu này.
Quay hình giữa $y=x+1$ và $y=1$ trên $[0;2]$ thì phải trừ bình phương, không phải bình phương của hiệu:
$$V=\pi\int_{0}^{2}\left[(x+1)^{2}-1^{2}\right]dx=\pi\int_{0}^{2}\left(x^{2}+2x\right)dx=\pi\left(\dfrac{8}{3}+4\right)=\dfrac{20\pi}{3}.$$Nếu lấy nhầm $\pi\displaystyle\int_{0}^{2}\left[(x+1)-1\right]^{2}dx=\pi\displaystyle\int_{0}^{2}x^{2}dx=\dfrac{8\pi}{3}$ thì lệch hơn hai lần.